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基于M估计的非线性鲁棒检测卡尔曼滤波算法
作者：李开龙 胡柏青 高敬东 冯国利 来源：《计算机应用》2014年第11期
摘要：针对传统鲁棒非线性滤波在观测噪声为非高斯强干扰噪声情况下，滤波性能下降的问题，提出一种利用卡方检测法预判断的非线性鲁棒检测滤波算法。该算法通过卡方检测设置门限，剔除突变野值，利用M估计修正量测更新。仿真实验对比了几种典型非线性滤波方法在不同观测噪声环境下的性能。所提算法在非高斯强干扰噪声情况下，比传统鲁棒滤波算法估计精度平均提高了25.5%；估计方差平均减少了18.3%。实验结果表明：所提算法可以抑制观测量非高斯强干扰噪声的影响，提高滤波精度及稳定性。 关键词：非线性；卡尔曼滤波；观测噪声；M估计；鲁棒 中图分类号： TN911.72文献标志码：A英文标题 0引言
在非线性状态估计领域，有扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter， EKF）和无迹卡尔曼滤波[1-4]（Unscented Kalman Filter， UKF），这两种方法都基于l2范数最小原则的进行推导的[5]。l2范数最小估计虽然具有许多其他估计方法无法比拟的优点，然而l2范数最小估计并不具有鲁棒性，即当假设条件和现实参数不相符时，状态估计精度会下降。1964年Huber[6]提出了广义极大似然估计，即M估计，并提出一种用于解决在高斯分布附近存在一定对称干扰的随机量（即混合高斯分布）问题的实用方法，即Huber方法。该方法结合l1/l2两种范数构建代价函数，对于干扰高斯分布的情形，可以使最大渐进估计方差达到最小，其鲁棒性优于基于l2范数的估计方法，同时尽量保持高斯分布时l2范数的估计效率。
文献[7]最早将M估计应用于滤波当中，提高了滤波算法的鲁棒性；文献[8]在此基础上提出了一个基于Huber技术的鲁棒滤波算法，并用于线性回归问题；文献[9]将Huber滤波应用于分开差分滤波（Divided Difference Filter， DDF）中，从DDF的统计线性回归观点出发，解决了非线性滤波当中的鲁棒性问题；文献[10-12]从Bayesian估计的理论角度，完整地推导了Huber法，并提出了基于Huber的迭代UKF（Huber-based Iterative UKF， HIUKF）算法，在非线性滤波估计精度上要优于文献[9]方法。
以上估计方法是在观测干扰噪声相对较弱的类高斯分布情况下进行研究的。本文针对非高斯分布且干扰噪声相对较强的情况，提出一种利用卡方检测预判断的非线性鲁棒检测卡尔曼滤波算法。通过检测判断观测量受污染情况，并结合Huber非线性鲁棒滤波框架，可以有效地抑
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制非高斯强干扰观测噪声的影响，相对于传统的基于Huber的非线性鲁棒滤波方法，本文方法的状态估计精度和稳定性都有所提高。 1M估计及卡方检测法 1.1M估计
这种代价函数结合了l1和l2范数的性质，具有较好的鲁棒性。式（3）中γ是调节因子，取值为1～2，由于实际外界干扰情况是未知的，最优调节因子的选取准则一般是根据严格高斯条件下的预期估计方差水平来确定，一般选择调节因子为1.345。
第11期 李开龙等：基于M估计的非线性鲁棒检测卡尔曼滤波算法计算机应用 第34卷1.2卡方检测法
卡方检测法利用新息对观测量中“故障”（这里可以认为是观测含有突变干扰或野值等）进行检测和隔离，其基本算法如下。
当无故障发生时，vk+1是零均值高斯白噪声，其理论方差为
Cvk+1=Hk+1Pk+1|kHTk+1+Rk+1；当系统发生故障时，新息vk+1的均值就不再为零。因此，通过对新息vk+1均值的检验可以确定观测量是否有效。对vk+1的二元假定： 2非线性鲁棒检测卡尔曼滤波算法
在UKF框架下，考虑本文的非线性检测卡尔曼滤波算法。之所以选择UKF，因为相对于EKF，UKF具有更高的精度优势。大量文献可以证明这一点，本文这里不再赘述。以下给出非线性鲁棒检测卡尔曼滤波算法基本流程。
如果λk+1>M（这里M是一个预设的门限，该门限通常由人为对于观测的信任程度所决定，M值越大，说明对于受污染观测的利用程度越大；反之则越小），则只是进行滤波预测，即k+1|k+1=k+1|k，Pk+1|k+1=Pk+1|k，说明了该观测量含有的有害信息多于有用信息并加以剔除。
如果λk+1≤M，则保留该观测量，进行第2）步随机解耦和重加权过程和第3）步非线性鲁棒滤波过程。
2）重加权平均过程。
前文提到的Huber法的本质：一是对观测残差的重加权平均；另一个是构伪观测量。在使用Huber法对观测残差进行重加权平均前，需要重新构造观测模型，这里采用非线性回归模型[10-11]而不采用传统的线性化回归模型，可以进一步提高滤波精度（详细证明见文献[10-11]）。
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构造非线性回归模型，如式（17）所示。
3）非线性滤波过程。基于以上两个步骤，进行第3）步非线性滤波过程，这个步骤的算法流程同传统的非线性鲁棒滤波（HUKF1）的滤波过程相同。由Huber修正的量测噪声方差如下：
3实验与分析 3.1仿真模型
仿真模型采用一种单变量非平稳增长模型（Univariate Nonstationary Growth Model， UNGM），该模型是用于验证非线性滤波算法的基准模型[10-11]，UNGM的离散时间动态系统方程如下：
系统噪声ωk～N（0，1），观测噪声υk+1服从于混合高斯分布，仿真步长K=100，产生仿真数据初始真值x0=0.1，Monte Carlo仿真次数MC=50；同时，设定滤波初始值0=0，P0=1。
混合高斯分布是一种在主高斯分布附近存在对称干扰的分布[10]，混合高斯噪声分布形式如式（29）所示： 3.2对比实验
从图1中可看出，观测量在干扰强度比较小时（方差a=20），UKF的估计精度要比HUKF1和HUKF2都要高，因为在干扰较小时，高斯分布的影响更为明显，而基于最小方差估计准则的UKF会相对更优。当观测量在干扰强度明显增大时（方差a=40），UKF的估计精度下降明显，两种非线性鲁棒滤波精度要高于UKF，并且HUKF2的估计精度要高于HUKF1的。
表1给出了三种滤波估计方差，无论干扰强度大小，非线性鲁棒滤波估计方差都比UKF小，这说明鲁棒滤波具有优于UKF的稳定性，具有预判断的HUKF2的稳定性也比HUKF1的要好。以上仿真结果在一定程度上印证了Simon[13]阐述的对于受污染的观测量处理要比不作任何处理要好的结论。
实验2非高斯强干扰环境下的情况。
对于在干扰系数ε>0.5的混合高斯分布下产生的观测量，其观测噪声的分布就是属于非高斯分布。当干扰系数ε=0.6，方差为a=40时，UKF、HUKF1、HUKF2三种滤波估计效果如图2所示。