MB?T???MB??T?d???T4

0?现在，T2T1?2，于是

M2?T2?4????2?16 ??M1?T1?即绝对黑体的温度增加一倍，它的总辐射能将增至为原来的16倍。

11-3 假设人体的热辐射是黑体辐射，请用维恩位移定律估算人体的电磁辐射中单色辐出度的最大波长（设人体的温度为310K）。

答：根据维恩位移定律

4?mT?b

可得

b2.898?10?3?m???9.35?10?6(m)

T310

11-4 所有物体都能发射电磁辐射，为什么用肉眼看不见黑暗中的物体？ 答：物体要能够被眼睛观察到，必须需要两个条件：（1）物体要发射或者反射出眼睛能感觉到的可见光，其波长范围大约为0.40～0.78μm；（2）可见光的能量要达到一定的阈值。根据黑体辐射，任何物体在一定温度下都发射出各种波长的电磁辐射，在不同温度下单色辐出度的峰值波长不同。黑暗中周围物体的温度等于环境温度（近似为人体温度），单色辐出度的峰值波长在10μm附近，在可见光波长范围的电磁辐射能量都比较低，因此不能引起眼睛的视觉响应。

11-5 请用一些日常生活中所见到的例子说明在物体热辐射的各种波长中单色辐出度最大的波长随物体温度的升高而减小。

答：火焰外焰温度高，内焰相对温度低；观察火焰，发现内焰颜色偏红，外焰颜色偏蓝（红光波长大于蓝光波长），可见单色辐出度的峰值波长随物体温度的升高而减小。

11-6 普朗克提出了能量量子化的概念，在经典物理学范围内有没有量子化的物理量？请举出例子。

答：在经典物理学范围内有量子化的物理量，比如说电荷的量子化。 11-7日常生活中，为什么觉察不到粒子的波动性和电磁辐射的粒子性？ 答：根据德布罗意假设，粒子的动量大，相应的波长就小。日常生活中的粒子动量很大，波长很短，故粒子的波动性不明显。日常生活中的电磁辐射的波长相对较长（频率为100M数量级，波长为1m左右），容易绕过障碍物，所以电磁辐射的粒子性很难觉察到。

11-8 一个电子和一个原子具有相同的动能，相应的德布罗意波长哪个大？ 答：电子和原子的动能均为

1p22 Ek?m??

22m又因为 p?h?

所以

h2 Ek? 22m?由于原子的质量大于电子的质量，根据上式可知原子的德布罗意波长小于电子的德布罗意波长。

11-9 说明物质波与机械波和电磁波的区别。 答：物质波与机械波和电磁波都有本质的区别。

（1）机械波是机械振动在弹性介质中的传播形成的；电磁波表示电场强度E和磁场强度H的周期性变化在空间的传播过程；而物质波（又称德布罗意波）是对实物粒子的统计描述，其振幅的平方只表示粒子出现的概率，是概率波。

（2）机械波y?Acos(?t?2π?x)和电磁波E?E0cos(?t?2π?x)，当其对应的振幅

A和E0分别增大为2A和2E0时，相应的波的能量和强度都增大为原来的4倍；而物质波

的波函数乘以任意一个常数后，并不改变粒子的运动状态。所以，对于波函数而言，有意义的是相对概率分布，从相对概率分布角度来说，?(x)与c?(x)是等价的。

11-10 在经典力学中用粒子的位置和速度来描述粒子的运动状态。在量子力学中，粒子的运动状态是如何描述的？

答：量子力学指出，微观粒子的运动状态用波函数来描述。一般来说，波函数?是空间和时间的函数，即???(x,y,z,t)。在量子力学中，用薛定谔方程来描述势场中的粒子状态（波函数）随时间变化的规律。

11-11 在一维无限深势阱中，如果减小势阱的宽度，其能级将如何变化？如果增大势阱的宽度，其能级又将如何变化？

答：一维无限深的方势阱中粒子可能的能量为

h2En?n 28ma2式中a为势阱宽度。由此可见，能级的能量En与a2成反比关系，如果减小势阱的宽度，每个能级的能量将增大，能级间隔增大；如果增大势阱的宽度，每个能级的能量将减小，能级间隔减小。

练 习 题 十 一

11-1—11-6 略

11-7 宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀背景热辐射相当于3 K辐射，求：(1)此辐射的单色辐射本领在什么波长下有极大值? (2)地球表面接收此辐射的功率有多大?(设地球半径为6?10m)

解：(1)由维恩位移定律得

6b2.898?10?3?m???9.66?10?4(m)

T3 (2)根据斯特藩－玻耳兹曼定律

MB?T???T

4 设地球表面接收此辐射的功率为P，地球的表面积为S，则有 P?MB?T?S??T4?RE

42代入数据，解得

P?5.67?10?8?34?4?3.14?6?106??2?2.08?109（W）

11-8 白炽灯工作时的温度为2 400 K，灯丝可看作黑体，如果灯的功率为100 W，则

灯丝的表面积多大?

解：根据斯特藩-玻耳兹曼定律

MB?T???T

4则灯的功率为

P?MB?T?S 其中，S为灯丝的表面积。于是 S?

11-9太阳辐射到地球大气层外表面单位面积的辐射通量I0称为太阳常量，实验测得

PMB?T??P100?52

??5.3?10（m） 44?8?T5.67?10??2400?I0?1.3kW?m?2。把太阳近似当作黑体，试由太阳常量估算太阳的表面温度(已知太阳半

811径为7.0?10m，日地距离为1.5?10m)。

解：根据能量守恒，有

M1?S1?I0?S2

其中，S1,S2分别为太阳表面积、以地球和太阳距离为半径的球面积。

22 M1?4πr1?I0?4πr2 (1)

8其中,r1,r2分别为太阳半径、地球和太阳距离：r1?7.0?10m，r2?1.5?10m。又根

11据斯特藩－玻尔兹曼定律

M??T4 (2) 其中， ??5.670?10?8W?m?2?K?4 由式（1）和式（2）可得

?I0r22 T????r2?1代入数据可得太阳的表面温度为

????1/4

?I0r22T????r2?1????1/4?1.3?103?(1.5?1011)2???5.670?10?8?(7.0?108)2?????1/4?5.7?103(K)

11-10 单位时间内太阳发射到地球上每单位面积的辐射能量为0.14 J·cm-2·s-1，假定太阳辐射的平均波长为550nm，问这相当于每秒钟向地球表面每平方厘米上发射多少个光子?

解：一个光子的能量为

??h??h 能量为E＝0.14J的能量辐射包含的光子数为

c?

E?0.14?550?10?9n????3.87?1017个 ?348?hc6.63?10?3.00?10E

11-11在理想条件下，如果正常人的眼睛接收550nm的可见光，此时只要每秒有100个光子数就会产生光的感觉。试问与此相当的光功率是多少？

解：每个光子能量为h?，其中h为普朗克常量（h?6.626?10?34J?S），则100个波长为550nm的光子的光功率为

Enh?nhc100?6.626?10?34?3?108?17P?????3.61?10(W) ?9tt?t550?10?1

11-12 热中子平均动能为（3/2）kT，试问当温度为 300 K时，一个热中子的动能为多大？相应的德布罗意波长是多少?(已知热中子的质量为1.67?10解：（1）微观粒子的平均平动动能为???27kg)

3kT，其中k为玻耳兹曼常数，则 2??kT??1.38?10?23?300?6.21?10?21(J)

（2） 根据

3232p?m?

和

??由上两式可得

1m?2 2p?2?m

代入p?h?，可得德布罗意波长为

??

h2?m?6.626?10?342?6.21?10?21?1.67?10?27?1.46?10?10(m)

11-13 物理光学的一个基本结论是:在被观测物小于所用照射光波长的情况下，任何光学仪器都不能把物体的细节分辨出来,这对电子显微镜中的电子德布罗意波同样适用。因此，若要研究线度为0.020?m的病毒，用光学显微镜是不可能的。然而，电子的德布罗意波长约比病毒的线度小1000倍，用电子显微镜可以形成非常好的病毒的像，问这时电子所需要的加速电压是多少？(已知电子电量为1.6?10?19C，电子质量为9.1?10?31 kg。)

解：经过电压U加速后,带电粒子的动能为

1m?2?eU 2又根据德布罗意公式

p?m??解得

h?

h2U? 22emλ又因为电子波长为λ?0.020?10?6/1000（m），将已知数据代入可得

h2(6.626?10?34)23U???3.8?10(V) 2?19?31?3?622em?2?1.60?10?9.1?10?(0.020?10?10)

11-14 设粒子在x轴运动时，速率的不确定量为Δ??1cm·s1。试估算下列情况下坐

－

标的不确定量?x：(1)质量为9.1?10?31kg的电子；(2)质量为10-13kg的布朗粒子；(3)质量为10-4kg的小弹丸。

解：由不确定关系可得

Δx?（1）电子的坐标不确定量为

hh? Δpxm?Δ?h6.626?10?34Δx1???7.3?10?2(m) ?31?2m1?Δ?9.1?10?1?10