??ql。在5-9题图中，对称的取距离中点O为x处的电荷元dq ，dq??dx?qdx/l。两个电荷元在P点产生的电场强度dE和dE?的水平分量相互抵消，在P点产生的合场强为dE和dE?沿竖直向上的分量之和。即

dE合?2dEcos???2dqa124??0?a2?x2??a2?x2?aqdx2??0l ?a?x2232?

于是，整个细棒在P点处的场强为

E?? 0dE合?? 0积分该式，整理后可得

l 2l 2aqdx2??0l ?a?x2232?

E?

12??0al2?4a2，求：（1）圆盘轴线上距盘心为x处

q5-10 一个半径为R的带电圆盘，电荷面密度为的任一点P的电场强度；（2）当R→∞时，P点的

电场强度为多少?（3）当x??R时，P点的电场强度又为多少?

解：（1）在半径为R的带电圆盘上取内半径为r、外半径为r+dr的细圆环，如5-10题图所示。利用教材中例题5-2的结果可知，该细圆环上的电荷在P点产生的场强为

?dr r R θ x P dE// dE⊥ dE dE?x? dS4??0?x?r2232??x? 2? rdr4??0?x?r2232?

5-10题图 于是，整个圆盘上的电荷在P点产生的场强为

x?Rrdr?x

E?dE??[1?]223/2221/20 2?02?0(r?x)(R?x)??（1） 当

R??时，

x??0E? 。此时，上式可化为 221/22?0(R?x)即此时可将带电圆盘看作无限大带电平面。

（3）当x??R时，可将带电圆盘看作点电荷，此时P点电场强度为

?4?R2q E??4??0x24??0x2

5-11 大多数生物细胞的细胞膜可以用两个分别带有电荷的同心球壳系统来模拟。在5-11题图中，设半径为R1和R2的球壳上分别带有电荷Q1和Q2，求：

（1）I、II 、III三个区域中的场强；（2）若Q1 =－Q2，各区域的电场强度又为多少？画出此时的电场强度分布曲线 (即E－r 关系曲线)。从这个结果，你可以对细胞膜的电场强度分布有个概略的了解。

解：（1）在区域I，做半径为r﹤R1的球形高斯面。因为高斯面内无电荷，根据高斯定理

III II I R1 Q2 Q1 R2 ??E?dS???q01内

可得区域I中的电场强度为

E1= 0

在区域II，以R1?r?R2为半径做球形高斯面。因为此高斯面内的电荷为Q1，高斯定理可写为

5-11题图

??E?dS?由此可解得区域II的电场强度为

Q1?0

E2?Q14??0r2

在区域III，做半径r﹥R2的球形高斯面。由于该高斯面内的电荷为Q1+Q2，由高斯定理可解得该区域的电场强度为

Q?Q2 E3 =1 24??0r（2）当Q1 =－Q2时，根据以上结果知 区域I的场强为 E1= 0 区域II的场强为 E2?E Q14??0r22 0 R1 R2 r Q14??0r2

5-11题E－ r关系曲线

区域III的场强为 E3= 0

根据上述结果可画出5-11题E?r关系曲线。

5-12 实验表明，在靠近地面处有相当强的大气电场，电场强度方向垂直地面向下，大小约为100N?C；在离地面1.5 km高的地方，电场强度方向也是垂直地面向下的，大小约为25N?C。（1）计算从地面到此高度的大气中电荷的平均体密度；（2）若地球上的电荷全部分布在地球表面，求地球表面的电荷面密度；

6（3）已知地球的半径为6?10m，地球表面的总电量为多少?

-1解：（1）由题中条件，在距离地面高度为1.5km处的大气电场E2?25N?C，地面附

-1-1近的大气电场为E1?100N?C。

从1.5km高处至地面做圆柱形高斯面，如5-12题 a图所示。由于圆柱形高斯面的上

-1底面和下底面相等，设为S，则穿过此高斯面的电通量为

Φe???E?dS?ES?E2S

1由高斯定理得

E1S?E2S?即

?q?0

H E2

?q??0?E1?E2?S

其中，?q为高斯面内的所有电荷的代数和。于是，高斯面内的平均电荷体密度为

1.5km 5-12题a图

???q?q?0?E1?E2???VHSH8.85?10?12?75?

1.5?10?3?4.43?10?13?C?m-3?

（2） 在地球表面附近做如5-12题b图所示的圆柱形 高斯面，高斯面的上底面S1在地球表面附近，下底面S2在地球内部。上地面处的场强为E1，并且S1=S2＝S。由于地球（导体）内部场强为零，设地球表面的电荷面密度为? 。通过该高斯面的电通量为

由高斯定理可得

?E1S?? S?0 由此解出

S ??E?dS??E1S

E1

? ??E1S??100?8.85?10?12??8.9?10?10?C?m?2?

（3） 地球表面的总电量为

5-12题b图

?10625q??S??8.9?10?4?(6?10)??4.0?10(C) ?负号表示地面带负电。

5-13 随着温度的升高，一般物质依次表现为固态、液态和气态。当温度继续升高时，气体中的大量分子将由于激烈碰撞而离解为电子和正离子，这种主要由带电离子组成的状态为物质的第四态，处于该态的物质称等离子体。如果气体放电时形成的等离子体圆柱内的体电荷分布有如下关系

?e?r???0?1??ra????22

其中，?e为电荷体密度，?0为圆柱轴线上的?e值，a为常量，求电场强度分布。 解：在等离子体中取如5-13题图所示的圆柱形闭合高斯面，高斯面的半径为r，高为L。

由于高斯面内的电荷分布是不均匀的，为了求出高斯面内的总电荷，在其中取一个半径为

r?，厚为dr?，长为L的带电薄层，如5-13题图中阴影部分所示。该带电薄层上所带的电

量即为

??r?2?r?Ldr?? dq??e于是，高斯面内所包围的总电量

?02?r?Ldr??1??r?a????22dr′

r′ r L

q??dq??r?02?r?Ldr??1??r?a????220???0La22?a?1????r?由于穿过高斯面的电通量为 由高斯定理可写出

5-13题图

??E?dS?E2?rL

q? E2?rL将前述的q带入，化简后可得

?0

a2?0rE(r)? 222?0?a?r?

5-14 测定土壤颗粒所带电量的方法之一是沉降法。在该法中，使土壤颗粒在已知黏滞系数??的液体中沉降，测出其收尾速度(即最后的稳定速度) v1。然后，再通过极间电压施加一个如5-14题图所示的静电场(假定土壤颗粒带正电荷)。调节电场强度E使颗粒达到新的收尾速度v2，这时有下列关系成立：

q?6?? r?v1?v2?

E其中，r为土粒的半径，q为土粒所带电量。请证明这个关系。

解：当未施加电场时带电土壤颗粒 在重力作用下沉降，根据斯托克斯公式 -Q 可得

mg?6?r??1

+Q

E v

5-14题图

施加电场后，土壤颗粒的受力为

mg?qE?6?r??2

将以上两式联立求解，可得

q?证毕。

6? ? r?v1?v2?

E5-15为了将混合在一起的带负电荷的石英颗粒和带正电荷的磷酸盐颗粒分开，可以使之沿重力方向垂直通过一个电场区域来达到。如果电场强度E?5?105NC?1，颗粒带电率为10CKg，并假设颗粒进入电场区域的初速度为零。欲将石英颗粒和磷酸盐颗粒分离100 mm以上，问颗粒通过电场区域的距离至少应为多少?该题说明了在农业上很有实用价值的静电分选技术的原理。

解：正、负带电颗粒在运动过程中受水平方向的电场力和竖直方向的重力作用，其运动轨迹如5-15题图所示。

对带正电荷的颗粒，满足

++++++++-qE -qE -mg mg -h ---l - 5-15题图

?5?1q?E?m?a?

对带负电荷的颗粒，满足

q?E?m ?a?设颗粒带电率?，质量为m?的颗粒带电为q??m??，由此可算出

a??同理可算出

q?E?5 (m?s-2) m?a??q?E?5 (m?s-2)=a??a m?于是，颗粒的水平位移为

l12?a t 221g t2 2竖直位移为 h?联立上两式消去时间t可得带电颗粒通过电场距离为

h?g l ?9.8?10?2(m) 2 a-305-16 水分子的电偶极矩为6.13?10C?m，如果这个电偶极矩是由一对点电荷±e引6-1起的(e为电子电量)，那么，它们的距离是多少?如果电偶极矩的取向与强度为10N?C的

电场方向一致，要使这个电偶极矩倒转成与电场相反的方向需要多少能量(用eV表示)? 解：（1）由电偶极矩的定义