pe?ql
得
pe6.13?10?30?11l???3.83?10(m) ?19q1.6?10（2）若使电偶极矩倒转需要能量为A，则
A?q?E?l?q?E?l?2eEl2?1.6?10?19?106?3.83?10?11 ?1.6?10?19?7.66?10?5(eV)
5-17 一个细胞的膜电势差为50mV，膜厚度为30?10?10m。若假定膜中场强为匀强电场，问电场强度为多大?当一个钾离子(K?)通过该膜时需作多少功?
解：依题意得
U50?10?3??1.67?107(V?m?1) E??10d30?10若令一个钾离子(K)通过该膜时需做功A，则
?A?qU?1.6?10?19?50?10?3?8?10?21(J)
5-18 动物的一些神经纤维可视为半径10?4m、长0.1m的圆柱体，其内部的电势要比周围流体的电势低0.09V，有一层薄膜将神经纤维和这些流体隔开。存在于薄膜上的Na?泵(一种运输Na?的特种蛋白)可以将Na?输送出纤维。若已知每平方厘米薄膜每秒钟可送出
3?10?11mol的Na?，问 (1) 每小时有多少库仑的电荷被送出纤维? (2) 每小时必须反抗电
场力作多少功?
解：（1）已知圆柱体半径r?10?2cm，圆柱体长度L?10cm，t?3600s，
v?3?10?11mol?s-1?cm-2，阿伏伽德罗常数N?6.02?1023，每个电荷的电量e?1.6?10?19C。因此，每小时被送出神经纤维的电荷量为
q?2?rLtvNe?2?3.14?10?2?10?3600?3?10?11?6.02?1023?1.6?10?19 ?6.54?10?3(C)（2）每小时反抗电场力做功A
A = qU = 6.54×10-3×0.09 = 5.89×10-4( J )
5-19 计算练习5-11中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域中的电势。
解：（1）根据题5-4所得Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域中的电场分布，可得区域I的电势为
U1?? E?dr r ???E1dr?? r R1 R2 R1E2dr??E3dr
R2 ? ??由此解得
R2Q14??0r R1dr??2Q1?Q2dr R24??r20 ?U1?区域Ⅱ的电势分布为
1?Q1Q2???? 4??0?R1R2?1?Q1Q2???? 4??0?rR2?U2?? E?dr?? r ? R2 rE2dr??E3dr? R2 ?区域Ⅲ的电势分布为
U3?? E?dr?? E3dr? r r ? ?Q1?Q2
4??0r（2）若Q1??Q2，则区域Ⅰ的电势为
U1?? E?dr r ???E1dr?? r R1 R2 R1E2dr??E3dr R2 ????区域Ⅱ的电势为
R2Q14??0r2 R1dr
Q1?11????4??0?R1R2?U2?? E?dr?? r ? R2 rE2dr?Q1?11???? 4??0?rR2?区域Ⅲ的电势为
U3?? E?dr?? E3dr?0
r r ? ?5-19核技术应用中常用的盖革—米勒(G-M)计数管，其外形结构如5-21题图所示，它实质上是一个用玻璃圆筒密封的共轴圆柱形电容器。设导线(正极)的半径为a，金属圆筒(负极)的半径为R，正、负极之间为真空。当两极加上电压U时，求导线附近的电场强度和金属圆筒内表面附近的电场强度。
解：设正极的线电荷密度为?，作半径为r(a?r?R)长度为L的圆柱高斯面，据高斯定理得距轴心为处的场强为：
E?? 2??0r①
两极间的电压为
U?? E?dr?? a R R a??Rdr?ln 2??0r2??0a金属圆筒（－） ②
联立①②式得
U E?rlnRa令r = a得正极附近的场强为
玻璃 导线（＋）
5-21题图
Er?a?U
alnRa令r = R得圆筒表面附近的场强为
Er?R?
U
RlnRa5-20 同轴电缆是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱体构成，如5-22题图所示。设内圆柱体的电势为U1，半径为R1；外圆柱体的电势为U2，外圆柱体的内半径为R2，两圆柱体之间为空气。求两个圆柱体的空隙中离轴为r处(R1?r?R2)的电势。
解：（1）设内圆柱体单位长度的电量为?。距轴心为r处场强为
5-22题图
R2 R1 在内外圆柱体之间做半径r(R1?r?R2)，长度为l的圆柱闭合高斯面，应用高斯定理可得
E?于是，两圆柱间电压为
? 2??0r①
?U?U1?U2?? R2 R1E?dr?R?ln2 2??0R1②
由①式解得??2??0rE，将其带入②式，可得
?U?U1?U2?rEln即
R2 R1E?U1?U2
rln(R2R1)则两个圆柱体的空隙中离轴为r处(R1?r?R2)的电势与外圆柱体之间的电势差
为
Ur?U2?? R2 rE?dr ??R2rU1?U2U?U2dr?1 ln(R2r)
rln?R2R1?ln(R2R1)于是，两个圆柱体的空隙中离轴为r处(R1?r?R2)的电势为
Ur?U1?U2 ln(R2r)?U2
ln(R2R1)类似地，两个圆柱体的空隙中离轴为r处(R1?r?R2)的电势与内圆柱体之间的电 势差为
Ur?U1??E?dr ? r R1U1?U2 ln(R1r)
ln(R2R1)于是，两个圆柱体的空隙中离轴为r处(R1?r?R2)的电势也可表示为
Ur?U1?U2 ln(R1r)?U1
ln(R2R1)5-21动物体是利用叫做轴突(axon)的神经纤维中的电脉冲传递信息的。在结构上轴突由圆筒形细胞膜组成。设圆筒形细胞膜的内半径为RA，外半径为RB,细胞膜的相对介电常量为?r，求轴突单位长度的电容。
解：设分布在圆筒形细胞膜内半径上单位长度的电量为?，当内外半径之间 为空气时，由习题5-15可知，圆筒形细胞膜内外的电压为
?U?细胞电容为
C0?R?lnB 2??0RAq??U?l?ln?RBRA?2??0?2??0l
ln?RBRA?其中，l为圆筒形细胞膜的长度。当细胞膜的相对介电常量为?r时，细胞电容为
C??rC0?于是，轴突单位长度的电容为
2??0?rl
ln?RBRA?Cl?2??0?rC? lln?RBRA?
5-22一个球形电容器，内外壳半径分别为R1和R2，两极板间电介质的相对介电常量为
?，球形电容器内极板所带电量为q，试计算这一电容器所储存的能量。
解：在两极板间以半径r 作一个闭合球形高斯面，由高斯定理可得两极板 之间的场强为
E?电容器两极板间的电压为
U?则电容器所储存的能量为
q4?? r2
? R2 R1E?dr??R2q4??rR1dr?2q?11???? 4?? ?R1R2?1q2R2?R1We?qU?
28??R2R1或
5-23两个同轴圆柱面长为l，半径为R1和R2（R1?R2，且R1、R2远小于 l），两圆柱面间充满空气。（1）当内外柱面分别均匀带电?Q和?Q时，求圆柱面间储存的电场能。（2）由能量关系推算此电容器的电容。
解：（1）由5-15题可知两个圆柱面间场强为
R21?q2?R2?R1?12q?2We?????EdV????4?rdr?2?R1228??R1R24??r??V2
E?两圆柱面间电压为
Q2??0rl
R1 U?? R2 R1E?dr??R2Q2??0rlR1dr
?r R2 l 5-25题图
＝
Q2??0llnR2 R1于是，两圆柱面之间储存的电场能为
R1Q2We?QU?ln2
24??0lR1（2）由We?1CU2 得电容器电容为 2C?2WeR2Q?ln U24??0lR1
2