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pe?ql

pe6.13?10?30?11l???3.83?10(m) ?19q1.6?10(2)若使电偶极矩倒转需要能量为A,则

A?q?E?l?q?E?l?2eEl2?1.6?10?19?106?3.83?10?11 ?1.6?10?19?7.66?10?5(eV)

5-17 一个细胞的膜电势差为50mV,膜厚度为30?10?10m。若假定膜中场强为匀强电场,问电场强度为多大?当一个钾离子(K?)通过该膜时需作多少功?

解:依题意得

U50?10?3??1.67?107(V?m?1) E??10d30?10若令一个钾离子(K)通过该膜时需做功A,则

?A?qU?1.6?10?19?50?10?3?8?10?21(J)

5-18 动物的一些神经纤维可视为半径10?4m、长0.1m的圆柱体,其内部的电势要比周围流体的电势低0.09V,有一层薄膜将神经纤维和这些流体隔开。存在于薄膜上的Na?泵(一种运输Na?的特种蛋白)可以将Na?输送出纤维。若已知每平方厘米薄膜每秒钟可送出

3?10?11mol的Na?,问 (1) 每小时有多少库仑的电荷被送出纤维? (2) 每小时必须反抗电

场力作多少功?

解:(1)已知圆柱体半径r?10?2cm,圆柱体长度L?10cm,t?3600s,

v?3?10?11mol?s-1?cm-2,阿伏伽德罗常数N?6.02?1023,每个电荷的电量e?1.6?10?19C。因此,每小时被送出神经纤维的电荷量为

q?2?rLtvNe?2?3.14?10?2?10?3600?3?10?11?6.02?1023?1.6?10?19 ?6.54?10?3(C)(2)每小时反抗电场力做功A

A = qU = 6.54×10-3×0.09 = 5.89×10-4( J )

5-19 计算练习5-11中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域中的电势。

解:(1)根据题5-4所得Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域中的电场分布,可得区域I的电势为

U1?? E?dr r ???E1dr?? r R1 R2 R1E2dr??E3dr

R2 ? ??由此解得

R2Q14??0r R1dr??2Q1?Q2dr R24??r20 ?U1?区域Ⅱ的电势分布为

1?Q1Q2???? 4??0?R1R2?1?Q1Q2???? 4??0?rR2?U2?? E?dr?? r ? R2 rE2dr??E3dr? R2 ?区域Ⅲ的电势分布为

U3?? E?dr?? E3dr? r r ? ?Q1?Q2

4??0r(2)若Q1??Q2,则区域Ⅰ的电势为

U1?? E?dr r ???E1dr?? r R1 R2 R1E2dr??E3dr R2 ????区域Ⅱ的电势为

R2Q14??0r2 R1dr

Q1?11????4??0?R1R2?U2?? E?dr?? r ? R2 rE2dr?Q1?11???? 4??0?rR2?区域Ⅲ的电势为

U3?? E?dr?? E3dr?0

r r ? ?5-19核技术应用中常用的盖革—米勒(G-M)计数管,其外形结构如5-21题图所示,它实质上是一个用玻璃圆筒密封的共轴圆柱形电容器。设导线(正极)的半径为a,金属圆筒(负极)的半径为R,正、负极之间为真空。当两极加上电压U时,求导线附近的电场强度和金属圆筒内表面附近的电场强度。

解:设正极的线电荷密度为?,作半径为r(a?r?R)长度为L的圆柱高斯面,据高斯定理得距轴心为处的场强为:

E?? 2??0r①

两极间的电压为

U?? E?dr?? a R R a??Rdr?ln 2??0r2??0a金属圆筒(-) ②

联立①②式得

U E?rlnRa令r = a得正极附近的场强为

玻璃 导线(+)

5-21题图

Er?a?U

alnRa令r = R得圆筒表面附近的场强为

Er?R?

U

RlnRa5-20 同轴电缆是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱体构成,如5-22题图所示。设内圆柱体的电势为U1,半径为R1;外圆柱体的电势为U2,外圆柱体的内半径为R2,两圆柱体之间为空气。求两个圆柱体的空隙中离轴为r处(R1?r?R2)的电势。

解:(1)设内圆柱体单位长度的电量为?。距轴心为r处场强为

5-22题图

R2 R1 在内外圆柱体之间做半径r(R1?r?R2),长度为l的圆柱闭合高斯面,应用高斯定理可得

E?于是,两圆柱间电压为

? 2??0r①

?U?U1?U2?? R2 R1E?dr?R?ln2 2??0R1②

由①式解得??2??0rE,将其带入②式,可得

?U?U1?U2?rEln即

R2 R1E?U1?U2

rln(R2R1)则两个圆柱体的空隙中离轴为r处(R1?r?R2)的电势与外圆柱体之间的电势差

Ur?U2?? R2 rE?dr ??R2rU1?U2U?U2dr?1 ln(R2r)

rln?R2R1?ln(R2R1)于是,两个圆柱体的空隙中离轴为r处(R1?r?R2)的电势为

Ur?U1?U2 ln(R2r)?U2

ln(R2R1)类似地,两个圆柱体的空隙中离轴为r处(R1?r?R2)的电势与内圆柱体之间的电 势差为

Ur?U1??E?dr ? r R1U1?U2 ln(R1r)

ln(R2R1)于是,两个圆柱体的空隙中离轴为r处(R1?r?R2)的电势也可表示为

Ur?U1?U2 ln(R1r)?U1

ln(R2R1)5-21动物体是利用叫做轴突(axon)的神经纤维中的电脉冲传递信息的。在结构上轴突由圆筒形细胞膜组成。设圆筒形细胞膜的内半径为RA,外半径为RB,细胞膜的相对介电常量为?r,求轴突单位长度的电容。

解:设分布在圆筒形细胞膜内半径上单位长度的电量为?,当内外半径之间 为空气时,由习题5-15可知,圆筒形细胞膜内外的电压为

?U?细胞电容为

C0?R?lnB 2??0RAq??U?l?ln?RBRA?2??0?2??0l

ln?RBRA?其中,l为圆筒形细胞膜的长度。当细胞膜的相对介电常量为?r时,细胞电容为

C??rC0?于是,轴突单位长度的电容为

2??0?rl

ln?RBRA?Cl?2??0?rC? lln?RBRA?

5-22一个球形电容器,内外壳半径分别为R1和R2,两极板间电介质的相对介电常量为

?,球形电容器内极板所带电量为q,试计算这一电容器所储存的能量。

解:在两极板间以半径r 作一个闭合球形高斯面,由高斯定理可得两极板 之间的场强为

E?电容器两极板间的电压为

U?则电容器所储存的能量为

q4?? r2

? R2 R1E?dr??R2q4??rR1dr?2q?11???? 4?? ?R1R2?1q2R2?R1We?qU?

28??R2R1或

5-23两个同轴圆柱面长为l,半径为R1和R2(R1?R2,且R1、R2远小于 l),两圆柱面间充满空气。(1)当内外柱面分别均匀带电?Q和?Q时,求圆柱面间储存的电场能。(2)由能量关系推算此电容器的电容。

解:(1)由5-15题可知两个圆柱面间场强为

R21?q2?R2?R1?12q?2We?????EdV????4?rdr?2?R1228??R1R24??r??V2

E?两圆柱面间电压为

Q2??0rl

R1 U?? R2 R1E?dr??R2Q2??0rlR1dr

?r R2 l 5-25题图

Q2??0llnR2 R1于是,两圆柱面之间储存的电场能为

R1Q2We?QU?ln2

24??0lR1(2)由We?1CU2 得电容器电容为 2C?2WeR2Q?ln U24??0lR1

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