1Vab???ab??(?aO??Ob)??Oa??Ob??Bl2，a端电势高。
68-8 有一无限长螺线管（筒内介质为空气），单位长度上线圈的匝数为n，在管的中心放置一绕了N圈，半径为r的圆形小线圈，其轴与螺线管的轴线平行。设螺线管内电流变化率为dI/dt，求小线圈中的感应电动势。
解：
B??0nI
Φm?NB?r2?N?0nI?r2
?i??dΦm???0Nn?r2dI/dt dt8-9 如图所示，无限长直导线通有电流I?5sin100?t(A)，另一个矩形线圈共1?103匝，宽a=10cm，长L=20cm，以v?2m?s?1的速度向右运动。当d=10cm时，求：（1）线圈中的动生电动势；（2）线圈中的感生电动势。
解：（1）导体在磁场中运动时产生的感应电动势就是动生电动势。在题8-9a图中，易知导体上段和下段上的动生电动势为零，因而N匝线圈中的动生电动势为
?i??1??2?NvB1L?NvB2L ?I?0I?N0Lv?NLv2?d2?(d?a)代入数据得
d I L a v ?i?2?10?3sin100πt(V)
（2）由磁通量变化引起的电动势为感生电动势。为求线圈
中的磁通量，取如题8-9b图所示的坐标系。现考虑一匝线圈的情况。
电流I在图8-9b所示阴影区域产生的磁通量为
题8-9a图
?IdΦm?B?dS?B?dS?0Ldx
2?x在整个线圈中产生的磁通量为
dx x O I x Φm???d?addΦm??d?ad?0ILd?aln2?d?0ILdx2?x
L d a 于是，在d=10cm时，一匝线圈中产生的感生电动势为 图8-9b
?i??dΦmdt
?0Ld?adI??ln2?ddtN匝线圈中产生的感生电动势为
?i??由于
?0Ld?adIln 2?ddtdI?500?cos100?t dt带入数据，得
?i??4.36?10?2cos100πt(V)
8-10 只有一根辐条的轮子在均匀外磁场B中转动，轮轴与B平行，如图所示。轮子和辐条都是导体，辐条长为R，轮子每秒转N圈子。两根导线a和b通过各自的刷子分别与轮轴和轮边接触。求:（1）a、b间的感应电动势 ；（2）若在a、b间接一个电阻，流过电阻的电流方向如何？（3）当轮子反转时，电流方向是否会反向？（4）若轮子的辐条是对称的两根或更多，结果又将如何？
解：（1）在辐条上距离轴心r处取长度为dr的微元，当辐条运动时在该微元上产生的动生电动势为
d?i?(v?B)?dl?(vBsin?)cos?dr
指向dr的正方向。则整个辐条上产生的动生电动势为
R?i??d?i??(vBsin?)cos?dr??r?Bdr?B?R2
LL012其方向由轴心沿辐条向外。
于是，ab之间的感应电动势为
?i?1B2?NR2??NBR2 2题8-10图
（2）由于电动势的方向由轴心沿辐条向外，故流过电阻的电流方向由b到a。 （3）当轮子反转时，由于感应电动势方向相反，故电流方向也会反向。
（4）若轮子的辐条是对称的两根或更多时，相当于两个或多个电源的并联，所有，电动势也相同。
8-11 法拉第盘发电机是一个在磁场中转动的导体圆盘。设圆盘的半径为R，它的轴线与均匀外磁场B平行，它以角速度?绕轴转动，如图所示。求：（1）盘边与盘心的电位差；（2）当R=15cm时，B=0.60T。若转速n=30rad?s?1，电压V等于多少？（3）盘边与盘心哪处电位高？当盘反转时，它们的电位高低是否会反过来？
解：（1） 盘上沿半径方向产生的感应电动势可以认为是沿任意半径的一个导体杆在磁场中运动时产生的动生电动势。与题8-10类似，在一段导体杆线元dl上产生的动生电动势为
??B O l dl d?i?(v?B)?dl?(vBsin?)cos?dl?B?ldl
式中l为线元dl（由盘心指向盘边）到盘心的距离，v为线元dl的线速度。则整个导体杆上产生的电动势为
题8-11图
?i???Bldl?B?R2
0R12此即盘边与盘心的电位差。
（2）将数据代入上式，知导体盘边与盘心之间的电压为
V???1?0.6?30?(0.15)2?0.2(V) 2（3）由于?i?0，电动势由盘心指向盘边（与dl方向一致），故盘边的电位高。当盘反转时，它们的电位高低会反过来。
8-12在半径R?0.50m的圆柱体内有均匀磁场，其方向与圆柱体的轴线平行且
dB/dt?1.0?10?2T?s-1，圆柱体外无磁场。求离开中心O的距离分别为0.10m、0.25m和
1.0m各点的涡旋电场的场强。
解：根据磁场分布的对称性，感生电场的电场线是以O为圆心的一系列同心圆。在圆柱体内过任意点P作以O为圆心，r为半径的圆形闭合回路L，回路上各点感生电场的场强大小相等，方向与回路相切。选取回路的正方向为顺时针，由式（8-8）有
?于是可得
LEi?dl?????B?dS S?tEi Ei r O Ei P?P L R ?BdB由于Ei具有对称性，=为常数，且与dS同方向。?tdtEi2πr??因此
L? dB2πr dt题8-12图
1dB（r＜R） Ei??r2dt式中的负号表示感生电场所产生的磁场是反抗磁场的变化。由于dB/dt＞0，Ei＜0，电场线方向是逆时针的（见图8-12）。若dB/dt＜0时，Ei＞0，电场线方向是顺时针的。
所以 r=0.10m时，5.0×10-4V?m?1；r=0.25m时，1.3×10--3V?m?1。
当r＞R时，在圆柱外过P?点作为以O为圆心，r为半径的圆形闭合回路L?，注意L?回路面积上只有πR2面积中有磁通量变化，于是有
Ei2πr??所以
dB2πR dtR2dBEi??
2rdt所以r=1.0m，1.25×10-3V?m。
8-13在半径为R的圆柱体积内存在有均匀磁场B，如图所示，有一长为l的金属棒放在该磁场中，如果B随时间的变化率dB/dt为常量。试证：棒两端的电动势大小为
?1dBllR2?()2。 dt22B O 证明： 如题8-13图所示，连接OP、OQ，设想PQOP构成一个闭合导体回路，由于OP、OQ沿半径方向，与通P 过该处的感生电场强度Ei处处垂直， Ei·dl=0，故OP和OQ
l两段上均无电动势，这样，由法拉第电磁感应定律求出闭合
回路的电动势就是导体棒PQ上的电动势。 题8-13图
按此思路，设闭合导体回路PQOP的环绕方向为逆时针
方向，其环绕面积S的方向与磁场方向相反，则通过该回路的磁通量为
R Q l?l?Φm???B?dS????BdS??BS??BR2???
SS2?2?根据法拉第电磁感应定律得回路中的电动势，亦即导体棒PQ上的电动势为
22?PQ证毕。
dΦdBl?l???m??R2???
dtdt2?2?8-14一小圆线圈面积为S1?4.0cm2，由表面绝缘的细导线绕成，其匝数为N1＝50，把它放在另一个半径R2＝20cm，N2＝100匝的圆线圈中心，两线圈同轴共面。如果把大线圈
在小线圈中产生的磁场看成是均匀的，求（1）这两个线圈之间的互感；（2）如果大线圈导线中的电流每秒减小50A，试求小线圈中的感应电动势。
解：当大线圈通有电流I2时，它在小线圈中心处的磁感应强度的大小为
B2?N2?0I22R2
如果把大线圈在小线圈中产生的磁场看成是均匀的，则通过小线圈的磁通链为
Φm?N1B2S1?N1N2两线圈之间的互感为
?0I22R2S1
Φm?050?100?4??10?7?4.0?10?4M??N1N2S1??6.28?10?6(H)I22R22?0.2
如果大线圈导线中的电流每秒减小50A ，则小线圈中的感应电动势为
?i??MdI?6.28?10?6?50?3.14?10?4(V). dt8-15 一根长直圆柱导线载有电流I，且I均匀地分布在导线的横截面上（设?r?1），试求在长度为l的一段导线内部的磁场能量。
解：在直圆柱导线内取半经为r，厚度为dr长度为l 的圆柱薄壳，其体积为dV?2πrldr( 题8-15图)。由安培环路定理可求得r处的磁感应强度与磁场强度分别为
B??0?rIrIr， H?2? R22?R2r O dr在长度为l的一段导线内部的磁场能量为 R 11R??IrIrWm????BHdV??0r2?2?rldr2V2022?R2?R
??0I2l4πR4?R0?0I2lrdr?
16?3题8-15图
8-16 试证电容器的位移电流Id?CdU。其中C为电容器的电容，U为两极板间的电dt压。
证明：设平行板电容器的极板面积为S、极板间距为d、极板间为空气，则极板间的电位移通量为
ΦD???D?dS???DdS?DS??0ES??0SSUS d对平行板电容器，其电容为
C??0将其带入上式得
S d ΦD?CU 于是，由位移电流的定义得
Id?
思考题九答案
1、 弹簧的劲度系数与弹簧的材质和长度有关，当长度变化时，弹簧的劲度系数也将发生改
变。 2、 如果弹簧的质量不能忽略，根据
dΦDdU?C 证毕。 dtdtT?2?m，振动系统的周期将会变大。
k3、 竖直悬挂的弹簧振子，选择弹簧原长处为坐标原点还是选择悬挂物体后的平衡位置为坐
标原点，得到弹簧振子的振动方程相同。
4、 当把旋转矢量所在的坐标轴的方向改成向左为正方向，则代表简谐振动的旋转矢量的转
动方向可规定为顺时针。
5、 无阻尼自由振动的频率由振动系统本身决定，受迫振动的稳定状态的频率由策动力决
定。
6、 机械波的能量与传递波的介质的密度、波速、角频率和振幅有关。波的能量是传递的，
简谐振动的能量是守恒的。
7、 振动加强的点的振幅大于振动减弱的点的振幅，但并不是说加强点的位移总大于减弱点