课时限时检测(二十一) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(每小题5分，共30分) 1.
3－sin 70°
＝( ) 2
2－cos10°
123A. B. C．2 D. 222【答案】 C
2．设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1，2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( ) A.
21
B. C．0 D.－1 22
【答案】 C
11tan α3．若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则的值为( )
23tan β1
A．5 B.－1 C．6 D．
6【答案】 A
4．在△ABC中，tan A＋tan B＋3＝3tan Atan B，则C等于( ) A.
π2ππ B. C. 336
π
D． 4
【答案】 A
4?π?5．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝，且α是第二象限角，则tan?＋α?5?4?等于( )
1
A．7 B.－7 C. 7【答案】 C
6．(2013·浙江高考)已知α∈R，sin α＋2cos α＝433A. B. C．－ 344【答案】 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
tan x?π?7．已知tan?x＋?＝2，则的值为________．
4?tan 2x?
4
D.－ 3
10
，则tan 2α＝( ) 2
1D.－ 7
4
【答案】
9
?π?1
8．设sin?＋θ?＝，则sin 2θ＝______.
?4?3
7
【答案】 －
9
cos 2α2
9．若＝－，则cos α＋sin α的值为________．
π?2?sin?α－?4??1
【答案】
2
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
?1π?10．(10分)已知函数f(x)＝2sin?x－?，
6??3
x∈R.
(1)求f?
?5π?的值；
??4?
π?106?π?? (2)设α，β∈?0，?，f?3α＋?＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．
2?2?135??π?5π??15ππ?【解】 (1)f??＝2sin?×－?＝2sin ＝2.
6?4?4??34π?π??π?10??1??(2)f?3α＋?＝2sin???3α＋?－??＝2sin α＝， 2?6??2?13???3?5
∴sin α＝，
13
f(3β＋2π)＝2sin?
?13β＋2π－π?＝2sin?β＋π?
?6?2??3???
63
＝2cos β＝，∴cos β＝.
55
?π?∵α，β∈?0，?，
2??
12422
∴cos α＝1－sinα＝，sin β＝1－cosβ＝，
135∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β 1235416
＝×－×＝. 13513565
图3－5－1
11．(12分)如图3－5－1，以Ox为始边作角α与β(0＜β＜α＜π)，它们终边分别
?34?与单位圆相交于点P，Q，已知点P的坐标为?－，?. ?55?
sin 2α＋cos 2α＋1(1)求的值；
1＋tan α(2)若OP⊥OQ， 求
sinα＋β.
π??2cos?＋β??4?
34
【解】 (1)由三角函数定义得cos α＝－，sin α＝，
552sin αcos α＋2cosα2cos αsin α＋cos α∴原式＝＝
sin αsin α＋cos α1＋
cos αcos α2
2
?3?2
＝2cosα＝2×?－?
?5?
18＝. 25
ππ
(2)∵OP⊥OQ，∴α－β＝，∴β＝α－.
22
π?π?34??∴sin β＝sin?α－?＝－cos α＝，cos β＝cos?α－?＝sin α＝. 2?2?55??∴
sinα＋βsin αcos β＋cos αsin β＝
πcos β－sin β??2cos?＋β??4?
44337×－×5555257＝＝＝. 4315－555
?7π??3π?12．(13分)已知函数f(x)＝sin?x＋?＋cos?x－?，x∈R.
4?4???
(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
44π
(2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0＜α＜β≤，
552求证：[f(β)]－2＝0.
2
?7π??3ππ?【解】 (1)∵f(x)＝sin?x＋－2π?＋sin?x－＋?
442?????π??π??π?＝sin?x－?＋sin?x－?＝2sin?x－?.
4?4?4????
∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.
44
(2)证明 ∵cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－. 554
∴cos βcos α＋sin βsin α＝，
54
cos βcos α－sin βsin α＝－，
5两式相加得2cos βcos α＝0. ππ
∵0＜α＜β≤，∴β＝.
22
?π?由(1)知f(x)＝2sin?x－?，
4??
∴[f(β)]－2＝4sin
2
2
π?2?2
－2＝4×??－2＝0. 4?2?