1.3.2函数的极值与导数

【学习目标】

1.理解极大值、极小值的概念；

2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 3.掌握求可导函数的极值的步骤.

【新知自学】

知识回顾：

1.利用导数判断函数单调性的方法：

设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y??0，那么y=f(x)为这个区间内的 ；如果在这个区间内y??0，那么y=f(x)为这个区间内的 .

新知梳理：

1. 极值定义：

（1）极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有 ，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作 ， x0是极大值点.

（2）极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有 .就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作 ， x0是极小值点.

（3） 与 统称为极值 2.判别f(x0)是极大、极小值的方法:

x0满足f?(x0)?0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果f?(x)在x0两侧满足“ ”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f?(x)在x0两侧满足“ ”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值. 感悟：

（1）极值点是自变量的值，极值指的是函数值；

（2）极值是一个局部的概念定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小． （3）函数的极值不是惟一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．

（4）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值. 对点练习： 1.若f

/?x0??0，则x0一定是函数的极值点吗？试举例说明.

2.下列有极值函数的函数是（ ） A.y=lnx B.y=

1 xC.y=x3 D.y=sinx

3.函数y=x2-2x+3的极值点是__________________. 4.函数f?x??ax?x?1有极值的充要条件是（ ）

3A.a?0 B. a?0 C. a?0 D.a?0

【合作探究】

典例精析：

例1. 求函数f(x)=

13x?4x?4的极值. 3变式练习：

求函数f (x)=

3?3lnx的极值. x

例2. 函数f?x??ax?bx在x?1处有极值?2，求常数a,b的值.

3

变式练习：

已知f(x)= x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0，求常数a、b的值.