人教版高中数学选修2-2 学案:1.3.2函数的极值与导数 下载本文

1.3.2函数的极值与导数

【学习目标】

1.理解极大值、极小值的概念;

2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值; 3.掌握求可导函数的极值的步骤.

【新知自学】

知识回顾:

1.利用导数判断函数单调性的方法:

设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果在这个区间内y??0,那么y=f(x)为这个区间内的 ;如果在这个区间内y??0,那么y=f(x)为这个区间内的 .

新知梳理:

1. 极值定义:

(1)极大值: 一般地,设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有 ,就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作 , x0是极大值点.

(2)极小值:一般地,设函数f(x)在x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有 .就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作 , x0是极小值点.

(3) 与 统称为极值 2.判别f(x0)是极大、极小值的方法:

x0满足f?(x0)?0,且在x0的两侧f(x)的导数异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值,并且如果f?(x)在x0两侧满足“ ”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;如果f?(x)在x0两侧满足“ ”,则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值. 感悟:

(1)极值点是自变量的值,极值指的是函数值;

(2)极值是一个局部的概念定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. (3)函数的极值不是惟一的,即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.

(4)极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大值未必大于极小值. 对点练习: 1.若f

/?x0??0,则x0一定是函数的极值点吗?试举例说明.

2.下列有极值函数的函数是( ) A.y=lnx B.y=

1 xC.y=x3 D.y=sinx

3.函数y=x2-2x+3的极值点是__________________. 4.函数f?x??ax?x?1有极值的充要条件是( )

3A.a?0 B. a?0 C. a?0 D.a?0

【合作探究】

典例精析:

例1. 求函数f(x)=

13x?4x?4的极值. 3变式练习:

求函数f (x)=

3?3lnx的极值. x

例2. 函数f?x??ax?bx在x?1处有极值?2,求常数a,b的值.

3

变式练习:

已知f(x)= x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0,求常数a、b的值.