x?sinxex?esinx?1x?sinxsinxe故lim?lime?lim?1．

x?0x?0x?sinxx?sinxx?0x?sinx例14 设f(x)在[a,b]上可微(0?a?b)，证明：存在??(a,b)，使得

(b2?a2)f?(?)?2?[f(b)?f(a)]．

f(b)?f(a)f?(?)， ?b2?a22?则用柯西中值定理证明；也可将要证明的等式变形为

分析 考虑将要证明的等式变为

[(b2?a2)f(x)?x2(f(b)?f(a))]?x???0，

则可用罗尔定理来证明．

f(b)?f(a)f?(?)证法1 只要证明， ?b2?a22?易知f(x)和g(x)?x2在[a,b]上满足柯西中值定理的条件，故存在??(a,b)，使

f(b)?f(a)f?(?)． ?b2?a22?证法2 只要证明[(b2?a2)f(x)?x2(f(b)?f(a))]?x???0． 令F(x)?(b2?a2)f(x)?x2(f(b)?f(a))，F(x)在[a,b]可导，且

F(a)?b2f(a)?a2f(b)?F(b)，

由罗尔定理知，至少存在一点??(a,b)，使F?(?)?0，即

(b2?a2)f?(?)?2?[f(b)?f(a)]．证毕．

错误证明 要证的结论可改写成

f(b)?f(a)f?(?)．对函数f(x)和g(x)?x2在?22b?a2?区间[a,b]上分别使用拉格朗日中值定理，存在??(a,b)，使

f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)，b2?a2?2?(b?a)，

于是

f(b)?f(a)f?(?)． ?b2?a22?错解分析 以上证法错在认为f(x)和g(x)?x2分别使用拉格朗日中值定理所得的

?是同一值，实际上这两个?不一定相同．

)f??1(例如，取f(x)?x3，f(x)在(0,1)内使f(1)?f(0?)?(1成0立)的点是

?1?

13；g(x)?x在(0,1)内使g(1)?g(0)?g?(?2)(1?0)成立的点是?2?21；而使柯西2中值公式

f(1)?f(0)f?(?3)2成立的点是?3?． ?g(1)?g(0)g?(?3)3例15 把函数f(x)?xe?x展成带佩亚诺余项的n阶麦克劳林公式．

分析 将函数展成n阶泰勒公式或者麦克劳林公式，通常有直接法和间接法两种方法，一般用间接法较为简单．

解法1 直接法

f(x)?xe?x， f(0)?0． f?(x)??(x?1)e?x， f?(0)?1．

f??(x)?(?1)2(x?2)e?x， f??(0)??．2 f???(x)?(?1)3(x?3)e?x， f???(0)?．3

?1f(n)(x)?(?1)n(x?n)e?x， f(n)(0)??(n1)n．

所以f(x)的n阶麦克劳林公式为

x2x3x4?xxe?x????1!2!3!解法2 间接法

?(?1)n?1xn?o(xn)． (n?1)!在ex的带佩亚诺余项的n阶麦克劳林公式中，以?x代x，得

e?xx2x3?1?x???2!3!x2x3x4?x????1!2!3!nxn?(?1)?o(xn)．

n!n上式两端同乘以x，有xe?xxn?1?(?1)?x?o(xn)．因为

n!nxn?1(?1)?o(xn)?xn!?0， limx?0xnxn?1故(?1)?o(xn)?x?o(xn)，从而

n!nx2x3x4x?xn?1?????(?1)?o(nx．) xe?x1!2!3!n?(1)!n

例16 求limcosx?ex?0x4?x22．

分析 该极限属于

0型，如果用洛必达法则来求解将会比较复杂，根据题目的特点0可考虑利用cosx，ex的泰勒公式．

解 因为

x2x4cosx?1???o(x4)，

2!4! e?x22x21x22?1??(?)22!2?x22x22x2o?((?))?1?22x44，?o?x( )8limcosx?ex?0x4x2x4x2x441???o(x)?[1???o(x4)]2!4!28?lim 4x?0x14x?o(x4)1?lim124??． x?0x12?注1 此题属

0型的不定式，可以利用洛必达法则，读者不妨一试，并与上述解法0比较一下孰优孰劣．

注2 在某些情况下，用泰勒公式求极限比用其它方法求极限更为简便，这种方法通常是把具有佩亚诺型余项的泰勒公式代入要求的极限式中，经过简便的有理运算，便可求出极限，应用该方法需要熟记内容提要中所列举的常用函数的麦克劳林公式．

注3 几条高阶无穷小的运算规律（这些规律在用麦克劳林公式求极限时尤为有用）：

（这里以x?0为例）：

a．o(xn)?o(xn)?o(xn)； b．当m?n时，o(xm)?o(xn)?o(xn)； c．o(xm)?o(xn)?o(xm?n)； d．当?(x)有界，则?(x)?o(xn)?o(xn)． ex?1例17 求极限lim．

x?0cos3x?10分析 该极限属于型，可以用洛必达法则，也可以采用等价无穷小替换定理．

02解法1 用洛必达法则．

2ex?12xex23x2lim?lim??lim?ex??． x?0cos3x?1x?0?3sin3x9x?0sin3x9解法2 用等价无穷小替换定理．

22ex?1x22． lim?lim??2x?0cos3x?1x?019?(3x)22例18 求极限lim?x?0lntan(7x)．

lntan(2x)分析 该极限属于价无穷小替换定理．

?型，可直接用洛必达法则；也可以先用洛必达法则，然后用等?17?lntanx(7)tan(7x)cos2(7x)?lim 解法1 lim

12x?0?lntanx(2x)?0??tan(2x)cos2(2x)17?sin(4x)sin(7x)cos(7x)7?lim?lim x?0?x?0?sin(14x)122?sin(2x)cos(2x)?7cos(4x)4lim??1． 2x?0?cos(14x)1417?2lntanx(7)tan(7x)cos(7x)?lim解法2 lim

12x?0?lntanx(2x)?0??tan(2x)cos2(2x)7cos2(2x)tan(2x)72x?lim ?lim ??lim?1 2???x?0x?0x?02cos(7x)tan(7x)27x例19（99研） lim(x?011?)?_______． 2xtanxx分析 该极限属于???型．将

11通分，然后再用洛必达法则． ?2xxtanxsec2x?1tan2x111tanx?xtanx?x解 lim(2??lim?lim?． )?lim2?lim223x?0x?0x?0xx?0x?03x3x3xtanxxtanxx例20 求极限limxe?x．

x??2分析 该极限属于0??型，应当先变形为为

?0或型，再用洛必达法则，究竟变形0?际

情

况

确

定

，

例

如

，

何种类型，要根据实