h?sinh注意到lim?0，所以若f?(0)存在，则由右边推知左边极限2h?0h存在且为零．若左边极限存在，则由
1f(h?sinh)f(h?sinh)?f(0)h2 ?h?sinhh?sinhh2知上式左边极限可能不存在，故f?(0)可能不存在．
至于D，
11?1?lim[f(2h)?f(h)]?lim?(f(2h)?f(0))?(f(h)?f(0))?， h?0hh?0hh??若f?(0)存在，上述右边拆项分别求极限均存在，保证了左边存在．而左边存在，不能保证右边拆项后极限也分别存在．故选B．
例10（99研） 设
?1?cosx,x?0?f(x)??，其中g(x)是有界函数，x?x2?g(x), x?0?则f(x)在x?0处（ ）．
A．极限不存在． B．可导． C．连续但不可导． D．极限存在但不连续．
解 由于
x2?g(x)f(x)?f(0)=xlim=0=f??(0)， lim?0?x?0?xx?01?cosxf(x)?f(0)==0=f??(0)， limlim?x?0x?0?x?0xx故选B．
例11 已知f(x)在x?a处可导且
1f(a?)n]n． f(a)?0．求lim[n??f(a)分析 题目条件是f(x)在x?a处可导，必然有f(x)在x?a处连续，从而可知该极限属于1?型．
解 f(x)在x?a处可导．则
1f(a?)?f(a)nlim?f?(a) n??1n且当n充分大时f(a?1)?0．故
n11f(a?)f(a?)n]n=exp{limn?lnn} lim[n??n??f(a)f(a)1f(a?)?f(a)nn?ln[1?]} =exp{limn??f(a)1f(a?)?f(a)nn?} =exp{limn??f(a)1f(a?)?f(a)f?(a)1n=exp{lim}． ?}=exp{n??1f(a)f(a)n注 此题用到当x?0时，ln(1?x)x． 例12 讨论函数f(x)?x|x(x?1)|的可导性．
分析 f(x)的表达式含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号，本质上f(x)为分段函数．
解法1 由x(x?1)?0可得x?1或x?0．由x(x)?于10?得0?x?1．是
32??x?x,x?1或x?0f(x)??2， 3x?x, 0?x?1??可求得
?3x2?2x,x?1或x?0?f?(x)??， 22x?3x, 0?x?1??因为
f(x)?f(0)limx?0?x?0f(x)?f(0)limx?0?x?0x2?x3=xlim?0?x=0，
x3?x2=xlim?0， ?0?x所以f?(0)?0，即f(x)在x?0处可导．而
x3?x2f(x)?f(1)=xlimlim?1?x?1x?1?x?1x2?x3f(x)?f(1)=xlimlim?1?x?1x?1?x?1=1， =?1，
则f(x)在x?1处不可导．
综上所述f(x)在x?1处不可导，f(x)在(??,1)解法2 依题意，f(x)?x?x2?(x?1)2 (1,??)上均可导．
是初等函数，且仅在x?0和x?1处可能不可导．故只需讨论在这两点的情形．
（1）x?0时，由于
limx?|x|?|x?1|?0， x?0x?0故f?(0)?0．
（2）x?1时，由于
limx?1x?|x|?|x?1|不存在， x?1(1,??)上均可导．
故f(x)只在x?1处不可导，在(??,1)解法3 由于
f(x)?x|x(x?1)|?x|x|?|x?1|，
由导数定义可知，|x|在x?0处不可导，而x|x|在x?0处一阶可导，因此，x|x|在任意点处均可导，再只需考查|x?1|的可导性．由导数定义可知，故f(x)仅在x?1|x?1|仅仅在x?1处不可导，处不可导，在(??,1)(1,??)上均可导．
x例13 设f(x)?tlim，讨论f(x)的可导性． 2tx???2?x?e分析 先应求出f(x)的表达式．本质上f(x)为分段函数． 解 由于
???,x?0?limetx??1, x?0， t????0, x?0?则有
?0, x?0?． f(x)??x,x?0??2?x2显然当x?0或x?0时，函数f(x)可导．下面讨论x?0时f(x)的可
导性．由于
f(x)?f(0)0?0f?(0)=lim==0， limx?0x?0??x?0?xx?02f(x)?f(0)2?xf??(0)=limlim=??x?0x?0xx?0=1，
2于是f?(0)?
?f??(0)，从而可知f(x)仅在x?0处不可导．
n例14（05研） 设函数f(x)?lim则f(x)在(??,??)内1?|x|3n，n??（ ）．
A．处处可导． B．恰有一个不可导点． C．恰有两个不可导点． D．至少有三个不可导点． 解 由于
f(x)?lim1?|x|nn??3n=lim[|x|n??3n(1?|x|?3n)]1n=lim|x|n??3(1?|x|1?3nn)
易求得
?x3,x?1?f(x)??1,?1?x?1，
?3x??1??x,则
f(x)?f(1)x3?1f??(1)?lim?lim?3， x?1?x?0?x?1x?1