最新版高等数学课后习题答案(复旦大学出版社)(李开复编) 下载本文

h?sinh注意到lim?0,所以若f?(0)存在,则由右边推知左边极限2h?0h存在且为零.若左边极限存在,则由

1f(h?sinh)f(h?sinh)?f(0)h2 ?h?sinhh?sinhh2知上式左边极限可能不存在,故f?(0)可能不存在.

至于D,

11?1?lim[f(2h)?f(h)]?lim?(f(2h)?f(0))?(f(h)?f(0))?, h?0hh?0hh??若f?(0)存在,上述右边拆项分别求极限均存在,保证了左边存在.而左边存在,不能保证右边拆项后极限也分别存在.故选B.

例10(99研) 设

?1?cosx,x?0?f(x)??,其中g(x)是有界函数,x?x2?g(x), x?0?则f(x)在x?0处( ).

A.极限不存在. B.可导. C.连续但不可导. D.极限存在但不连续.

解 由于

x2?g(x)f(x)?f(0)=xlim=0=f??(0), lim?0?x?0?xx?01?cosxf(x)?f(0)==0=f??(0), limlim?x?0x?0?x?0xx故选B.

例11 已知f(x)在x?a处可导且

1f(a?)n]n. f(a)?0.求lim[n??f(a)分析 题目条件是f(x)在x?a处可导,必然有f(x)在x?a处连续,从而可知该极限属于1?型.

解 f(x)在x?a处可导.则

1f(a?)?f(a)nlim?f?(a) n??1n且当n充分大时f(a?1)?0.故

n11f(a?)f(a?)n]n=exp{limn?lnn} lim[n??n??f(a)f(a)1f(a?)?f(a)nn?ln[1?]} =exp{limn??f(a)1f(a?)?f(a)nn?} =exp{limn??f(a)1f(a?)?f(a)f?(a)1n=exp{lim}. ?}=exp{n??1f(a)f(a)n注 此题用到当x?0时,ln(1?x)x. 例12 讨论函数f(x)?x|x(x?1)|的可导性.

分析 f(x)的表达式含有绝对值符号,应先去掉绝对值符号,本质上f(x)为分段函数.

解法1 由x(x?1)?0可得x?1或x?0.由x(x)?于10?得0?x?1.是

32??x?x,x?1或x?0f(x)??2, 3x?x, 0?x?1??可求得

?3x2?2x,x?1或x?0?f?(x)??, 22x?3x, 0?x?1??因为

f(x)?f(0)limx?0?x?0f(x)?f(0)limx?0?x?0x2?x3=xlim?0?x=0,

x3?x2=xlim?0, ?0?x所以f?(0)?0,即f(x)在x?0处可导.而

x3?x2f(x)?f(1)=xlimlim?1?x?1x?1?x?1x2?x3f(x)?f(1)=xlimlim?1?x?1x?1?x?1=1, =?1,

则f(x)在x?1处不可导.

综上所述f(x)在x?1处不可导,f(x)在(??,1)解法2 依题意,f(x)?x?x2?(x?1)2 (1,??)上均可导.

是初等函数,且仅在x?0和x?1处可能不可导.故只需讨论在这两点的情形.

(1)x?0时,由于

limx?|x|?|x?1|?0, x?0x?0故f?(0)?0.

(2)x?1时,由于

limx?1x?|x|?|x?1|不存在, x?1(1,??)上均可导.

故f(x)只在x?1处不可导,在(??,1)解法3 由于

f(x)?x|x(x?1)|?x|x|?|x?1|,

由导数定义可知,|x|在x?0处不可导,而x|x|在x?0处一阶可导,因此,x|x|在任意点处均可导,再只需考查|x?1|的可导性.由导数定义可知,故f(x)仅在x?1|x?1|仅仅在x?1处不可导,处不可导,在(??,1)(1,??)上均可导.

x例13 设f(x)?tlim,讨论f(x)的可导性. 2tx???2?x?e分析 先应求出f(x)的表达式.本质上f(x)为分段函数. 解 由于

???,x?0?limetx??1, x?0, t????0, x?0?则有

?0, x?0?. f(x)??x,x?0??2?x2显然当x?0或x?0时,函数f(x)可导.下面讨论x?0时f(x)的可

导性.由于

f(x)?f(0)0?0f?(0)=lim==0, limx?0x?0??x?0?xx?02f(x)?f(0)2?xf??(0)=limlim=??x?0x?0xx?0=1,

2于是f?(0)?

?f??(0),从而可知f(x)仅在x?0处不可导.

n例14(05研) 设函数f(x)?lim则f(x)在(??,??)内1?|x|3n,n??( ).

A.处处可导. B.恰有一个不可导点. C.恰有两个不可导点. D.至少有三个不可导点. 解 由于

f(x)?lim1?|x|nn??3n=lim[|x|n??3n(1?|x|?3n)]1n=lim|x|n??3(1?|x|1?3nn)

易求得

?x3,x?1?f(x)??1,?1?x?1,

?3x??1??x,则

f(x)?f(1)x3?1f??(1)?lim?lim?3, x?1?x?0?x?1x?1