试求理想气体的体胀系数,压强系数和等温压缩系数。 解：已知理想气体的物态方程为

（1）

由此易得

（2） （3）

（4）

证明任何一种具有两个独立参量的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数及等温压缩系数，根据下述积分求得：

如果，试求物态方程。

解：以为自变量，物质的物态方程为

其全微分为

（1）

全式除以，有

根据体胀系数和等温压缩系数的定义，可将上式改写为

（2）

上式是以为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有

（3）

若，式（3）可表为

（4）

选择图示的积分路线，从积分到，再积分到（），相应地体

积由最终变到，有

即

（常量），

或

（5）

式（5）就是由所给求得的物态方程。 确定常量C需要进一步的实验数据。

在和1下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为可近似看作常量，今使铜块加热至。问：

（a）压强要增加多少才能使铜块的体积维持不变？（b）若压强增加100，铜块的体积改变多少？

解：（a）根据题式（2），有

（1）

上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差，温度差和压强差之间的关系。如果系统的体积不变，与的关系为

（2）

在和可以看作常量的情形下，将式（2）积分可得

（3）

将式（2）积分得到式（3）首先意味着，经准静态等容过程后，系统在初态和终态的压强差和温度差满足式（3）。 但是应当强调，只要

初态和终态是平衡态，两态间的压强差和温度差就满足式（3）。 这是因为，平衡状态的状态参量给定后，状态函数就具有确定值，与系统到达该状态的历史无关。 本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。 在加热过程中，铜块各处的温度可以不等，铜块与热源可以存在温差等等，但是只要铜块的初态和终态是平衡态，两态的压强和温度差就满足式（3）。

将所给数据代入，可得

因此，将铜块由加热到，要使铜块体积保持不变，压强要增强

（b）题式（4）可改写为

（4）

将所给数据代入，有

因此，将铜块由加热至，压强由增加，铜块体积将增加原体积的倍。

简单固体和液体的体胀系数和等温压缩系数数值都很小，在一定温度范围内可以把和看作常量. 试证明简单固体和液体的物态方程可近似为

解: 以为状态参量，物质的物态方程为

根据习题式（2），有

（1）

将上式沿习题图所示的路线求线积分，在和可以看作常量的情形下，有

（2）

或

（3）

考虑到和的数值很小，将指数函数展开，准确到和的线性项，有

（4）

如果取，即有

（5）

描述金属丝的几何参量是长度，力学参量是张力J，物态方程是

实验通常在1下进行，其体积变化可以忽略。

线胀系数定义为

等温杨氏模量定义为

其中是金属丝的截面积，一般来说，和是T的函数，对J仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范围不大，可以看作常量，假设金属丝两端固定。试证明，当温度由降至时，其张力的增加为

解：由物态方程

（1）

知偏导数间存在以下关系：

（2）

所以，有

（3）

积分得

（4）

与题类似，上述结果不限于保持金属丝长度不变的准静态冷却过程，只要金属丝的初态是平衡态，两态的张力差

就满足式（4），与经历的过程无关。

一理想弹性线的物态方程为

其中是长度，是张力J为零时的L值，它只是温度T的函数，b是常量. 试证明：

（a）等温扬氏模量为

在张力为零时，其中A是弹性线的截面面积。

（b）线胀系数为

其中

（c）上述物态方程适用于橡皮带，设 ，试计算当分别为和时的值，并画出对的曲线.

解:（a）根据题设，理想弹性物质的物态方程为

由此可得等温杨氏模量为

张力为零时，

（b）线胀系数的定义为

由链式关系知

而

1）

2）

3）

（（（