所以

（4）

（c）根据题给的数据，对的曲线分别如图1-2（a），（b），（c）所示。

抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入，当压强达到外界压强时将活门关上，试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能与原来在大气中的内能之差为，其中是它原来在大气中的体积，若气体是理想气体，求它的温度与体积。

解：将冲入小匣的气体看作系统。系统冲入小匣后的内能与其原来在大气中的内能由式（1.5.3）

（1）

确定。由于过程进行得很迅速，过程中系统与外界没有热量交换， 过程中外界对系统所做的功可以分为和两部分来考虑。一方面，大气将系统压入小匣，使其在大气中的体积由变为零。由于小匣很小，在将

气体压入小匣的过程中大气压强可以认为没有变化，即过程是等压的（但不是准静态的）。过程中大气对系统所做的功为

另一方面，小匣既抽为真空，系统在冲入小匣的过程中不受外界阻力，与外界也就没有功交换，则

因此式（1）可表为

（2）

如果气体是理想气体，根据式（1.3.11）和（），有

（3）

（4）

式中是系统所含物质的量。代入式（2）即有

（5）

活门是在系统的压强达到时关上的，所以气体在小匣内的压强也可看作，其物态方程为

（6）

与式（3）比较，知

（7）

满足的过程称为多方过程，其中常数名为多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的热容量为

解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量

（1）

对于理想气体，内能U只是温度T的函数，

所以

（2）

将多方过程的过程方程式与理想气体的物态方程联立，消去压强可得

（常量）。 （3）

将上式微分，有

所以

（4）

代入式（2），即得

（5）

其中用了式（1.7.8）和（）。

试证明：理想气体在某一过程中的热容量如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数。假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。

解：根据热力学第一定律，有

（1）

对于准静态过程有

对理想气体有

气体在过程中吸收的热量为

因此式（1）可表为

（2）

用理想气体的物态方程除上式，并注意可得

（3）

将理想气体的物态方程全式求微分，有

（4）

式（3）与式（4）联立，消去，有

（5）

令，可将式（5）表为

（6）

如果和都是常量，将上式积分即得

（常量）。 （7）

式（7）表明，过程是多方过程。

声波在气体中的传播速度为

假设气体是理想气体，其定压和定容热容量是常量，试证明气体单位质量的内能和焓可由声速及给出：

其中为常量。

解：根据式（1.8.9），声速的平方为

（1）

其中v是单位质量的气体体积。理想气体的物态方程可表为

式中是气体的质量，是气体的摩尔质量。 对于单位质量的气体，有

（2）

代入式（1）得

（3）

以表示理想气体的比内能和比焓（单位质量的内能和焓）。 由式（1.7.10）—（）知

（4）

将式（3）代入，即有

（5）

式（5）表明，如果气体可以看作理想气体，测定气体中的声速和即可确定气体的比内能和比焓。

大气温度随高度降低的主要原因是在对流层中的低处与高处之间空气不断发生对流，由于气压随高度而降低，空气上升时膨胀，下降时收缩，空气的导热率很小，膨胀和收缩的过程可以认为是绝热过程，试计算大气温

度随高度的变化率，并给出数值结果。

解：取轴沿竖直方向（向上）。以和分别表示在竖直高度为和处的大气压强。 二者之关等于两个高度之间由大气重量产生的压强，即

（1）

式中是高度为处的大气密度，是重力加速度。 将展开，有

代入式（1），得

（2）

式（2）给出由于重力的存在导致的大气压强随高度的变化率。

以表大气的平均摩尔质量。 在高度为处，大气的摩尔体积为，则物态方程为

（3）

是竖直高度为处的温度。 代入式（2），消去得

（4）

由式（1.8.6）易得气体在绝热过程中温度随压强的变化率为

（5）

综合式（4）和式（5），有

（6）

大气的（大气的主要成分是氮和氧，都是双原子分子），平均摩尔质