第一章 习题解答

??.⑴求质点轨迹；⑵求自t= -1到t=1质点的??e2t?1-9 质点运动学方程为r?e?2tij?2k位移。

解：⑴由运动学方程可知：x?e?2t,y?e2t,z?2,xy?1，所以，质点是在z=2平面内的第一像限的一条双曲线上运动。

?????(e2?e?2)?⑵?r?r(1)?r(?1)?(e?2?e2)ij

??7.2537???7.2537ij。所以，位移大小：

?|?r|?(?x)2?(?y)2?(?7.2537)2?7.25372?7.25372,?x2与x轴夹角??arccos??arccos(?)?135?|?r|2?y2与y轴夹角??arccos??arccos()?45?|?r|2?z与z轴夹角??arccos??arccos0?90?|?r|

??，R为正常数，求t=0,π/2时的速度和加速度。⑵??Rsint?1-10 ⑴r?Rcostij?2tk??，求t=0,1时的速度和加速度（写出正交分解式）??4.5t2?。 r?3tij?6t3k??? ??Rcost?解：⑴v?dr/dt??Rsintij?2k?????,a??Rsint??,a?dv/dt??Rcostij.?v|t?0?R?j?2k|t?0??Ri???,a??2kv|t??/2??Ri|t??/2??R?j ⑵

?????,a?； ??9t?v?dr/dt?3ij?18t2k?dv/dt??9?j?36tk?????,a? ?,a??9?v|t?0?3i|t?0??9?j,v|t?1?3ij?18k|t?1??9?j?36k

1-12质点直线运动的运动学方程为x=acost,a为正常数，求质点速度和加速度，并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等）

解：x?acost,vx?dx/dt??asint,ax?dvx/dt??acost 显然，质点随时间按余弦规律作周期性运动，运动范围：

?a?x?a,?a?vx?a,?a?ax?a

1-13图中a、b和c表示质点沿直线运动三种不同情况下的x-t图像，试说明每种运动的特点（即速度，计时起点

1

a 20 10 0 -10 -20 x(m) b 30° 120° 20 10 c 45° 30 t(s)

时质点的位置坐标，质点位于坐标原点的时刻）

解：质点直线运动的速度

v?dx/dt，在x-t图像中为曲线斜率。由于三种图像都是直线，因此三种运动都是匀速直线运动，设直线与x轴正向夹角为α，则速度v?tg???x/?t

对于a种运动：

v?tg120???3m/s,x|t?0?20m,t|x?0?20tg30??11.55s

对于b种运动：

v?tg30??3/3ms?1,x|t?0?10m,t|x?0??10/tg30???17.32s

对于c种运动：

v?tg45??1ms?1,t|x?0?25s,x|t?0??25tg45???25m

1-14质点从坐标原点出发时开始计时，沿x轴运动，其加速度ax = 2t (cms-2)，求在下列两种情况下质点的运动学方程，出发后6s时质点的位置、在此期间所走过的位移及路程。⑴初速度v0=0；⑵初速度v0的大小为9cm/s，方向与加速度方向相反。

解：dvx?axdt?2tdt,xvxv02?dvx?2?tdt,vx?v0?t

0t3 dx?vxdt?(v0?t)dt,?dx?v0?dt??t2dt,x?v0t?1t30002tt321⑴v0?0时，vx?t2,x?1t;x(6)??6?72cm 33?x?x(6)?x(0)?72m路程S??x?72cm

3⑵v0??9时，vx?t2?9,x?1 3t?9t?x?x(6)?x(0)?18cm

令vx=0，由速度表达式可求出对应时刻t=3，由于3秒前质点沿x轴反向运动，3秒后质点沿x轴正向运动，所以路程：

S?|x(3)?x(0)|?|x(6)?x(3)|?x(6)?2x(3) 3?18?2(1?3?9?3)?18?36?54cm3

1-15飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动，刚着陆时，t=0时速度为v0，且坐标x=0，

2

假设其加速度为 ax = - bvx，b=常量，求飞机速度和坐标随时间的变化规律。

x解：dvx?axdt??bvxdt,?vxdvx??b?dt,?vx|vv0??bt

2vx?2t?1v001?v0btv01111 ???bt,??bt,,vx?v0vxv01?v0btvxv02

xtv0dtv0dt1td(1?v0bt)dx?vxdt?,?dx????,1?v0bt01?vbtb1?vbt0000

1x?ln(1?v0bt)b1-16在195m长的坡道上，一人骑自行车以18km/h的速度和-20cm/s2的加速度上坡，另一自行车同时以5.4km/h的初速度和0.2m/s2的加速度下坡，问：⑴经多长时间两人相遇？⑵两人相遇时各走过多长的路程？

解：以上坡者出发点为原点沿其前进方向建立坐标o-x，用脚标1表示上坡者，用脚标2表示下坡者。

两人的加速度实际上是相同的：a1?a2??0.2m/s2

初始条件：t?0时，x1?x10?0,x2?x20?195v1?v10?18km/h?5m/s,v2?v20??5.4km/h??1.5m/s

根据匀变速直线运动公式：

v20 x

195 a2

v10 0 a1

22x1?v10t?12a1t?5t?0.1t 22x2?195?v20t?1at?195?1.5t?0.1t22⑴令x1=x2，可求得相遇时间：5t=195-1.5t, t=195/6.5=30s

⑵对于上坡者，在相遇期间做的不一定是单方向直线运动，据上坡者的速度表达式：v1=5-0.2t，令v1=0，求得对应时刻t=25s，所以，上坡者在25s前是在上坡，但25s后却再下坡。因此，上坡者在30s内走过的路程：

S1?|x1(25)?x1(0)|?|x1(30)?x1(25)|?2x1(25)?x1(30)?2(5?25?0.1?252)?(5?30?0.1?302)?65m

对于下坡者，因为做单方向直线运动，所以30s内走过的路程：

S2?|x2(30)?x2(0)|?x2(0)?x2(30)?195?60?135m

1-17 电梯以1.0m/s的匀速率下降，小孩在电梯中跳离地板0.50m高，问当小孩再次落到地板上时，电梯下降了多长距离？

解：以电梯为参考系，小孩相对电梯做竖直上抛运动，他从起跳到再次落到地板所需

2时间，是他从最高处自由下落到地板所需时间的2倍。由自由落体运动公式：h?1，2gt可求得从最高出落到地板所需时间：t?2g/h?2?9.8/0.5?0.32s，所以小孩做竖直上抛所需时间为0.64s，在此时间内电梯对地下落距离：

L = 1.0×0.64 = 0.64 m

1-18 在同一竖直面内的同一水平线上A、B两点分别以30o、60o为发射角同时抛出两球，欲使两小球相遇时都在自己的轨道的最高点，求A、B两点间的距离。已知小球在A点的发射速度vA=9.8米/秒。

3

解：以A点为原点建立图示坐标系，取发射时刻为计时起点，两点间距离为S，初始条件如图所示。

据斜抛规律有：

xA?vAOcos30?t⑴xB?vBOcos60?t?SvBy?vBOsin60??gt⑵⑷vAy?vAOsin30??gt⑶

满足题中条件，在最高点相遇，必有vAy=vBy=0,xA=xB 令⑶,⑷?0,t?vAOsin30?/g⑸,vBO?vAOsin30?/sin60?⑹令⑴?⑵，得S?(vAOcos30??vBOcos60?)t⑺v把⑸,⑹代入⑺中得：S?AO(cos30??0.5ctg60?)?2.83m2g2

1-19 迫击炮的发射角为60°发射速率150m/s，炮弹击中倾角为30°的山坡上的目标，发射点正在山脚，求弹着点到发射点的距离OA.

解：以发射点为原点，建立图示坐标o-x，斜抛物体的轨迹方程为（见教材）：

y?xtg??g2 x222v0cos?y v0 60° 30° 32本题，α=60°，v0=150m/s，A点坐标xA,yA应满足轨迹方程，所以： yA?xAtg60??A x

g2v0cos260?2xA?3xA?22gv02xA ①

2另外，根据图中几何关系，可知：xA?OAcos30??，代入①中，有： yA?OAsin30??12OAOA

2v02?150231OA?2OA?OA,OA???1531m 223g3?9.82v03g221-20列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶，在我们所讨论的时间范围内，其运动学方

程为S=80t-t2（m,s），t=0时，列车在图中O点，此圆弧形轨道的半径r=1500m，求列车驶过O点以后前进至1200m处的速率及加速度。

北 解：S=80t-t2 ① v=dS/dt=80-2t ② S 东 令S=1200，由①可求得对应时间： τ at2?80t?1200?0,求得t?60s,20s

将t=60代入②中，v=-40，不合题意，舍去；将t=20代入②中，v=40m/s，此即列车前进到1200m处的速率。

v n O α a aτ a??dv/dt??2m/s2,an?v2/r?402/1500?1.067m/s2a?a??an?(?2)2?1.0672?2.267m/s2a1.067??a与v所成夹角：??arctgn?arctg()?152?a??24

22

1-21 火车以200千米/小时的速度驶入圆形轨道，其半径为300米。司机一进入圆弧形轨道立即减速，减速度为2g。求火车在何处的加速度最大？最大加速度是多少？

解：沿火车运动的圆形轨道建立弧坐标o-s，t=0时，s=0,v=v0=200km/h=55.56m/s。据题意aτ= -2g，v=v0+aτt=v0 -2g t，an=v2/R=(v0 –2gt)2/R。∴a=(aτ2+an2)1/2=[4g2+(v0 –2gt)4/R2]1/2，显然，t=0时，a最大， amax?4g2?v0/R2?22.1m/s2

4

1-22斗车在位于铅直平面内上下起伏的轨道上运动，当斗车达到图中所示位置时，轨道曲率半径为150m，斗车速率为50km/h，切向加速度aτ=0.4g，求斗车的加速度。

解：a??0.4g?0.4?9.8?3.92m/s2

?2?102 an?v2/??(50)/150?1.286ms36003???ann??3.92???1.286n? a?a??a?a??an?3.922?1.2862?4.126m/s2 ?加速度a与切向单位矢量??夹角：

22n 30° τ a ??arctgana??arctg1.2863.92?18.16?

1-23 飞机在某高度的水平面上飞行，机身的方向是自东北向西南，与正西夹15o角，风以100km/h的速率自西南向东北方向吹来，与正南夹45o角，结果飞机向正西方向运动，求飞机相对于风的速度及相对于地面的速度。

???解：v机地?v机风?v风地，由矢量图可知， B 120m C B v风地 v v机地 45° u L v 中，v风地=100km/h=27.78m/s，

东 ω1 u α 15° ∴可求得： v机风 ω sin135?sin30?2v机风?v风地?75.89m/s,v机地?v风地?A53s A .67 m /

sin15?sin15?第一次渡河矢量图 第二次渡河

矢量图

1-14 一卡车在平直路面上以恒速度30米/

秒行驶，在此车上射出一个抛体，要求在车前进60米时，抛体仍落回到车上原抛出点，问抛体射出时相对于卡车的初速度的大小和方向，空气阻力不计。

解：以卡车为参考系，设抛体初速为v0，由于要落回原抛出点，故方向只能竖直向上，即抛体相对车只能作竖直上抛运动。

取向上方向为正，抛体相对车任意时刻速度 v = v0 - g t ⑴

由题意，抛体落回原地所需时间 t = 60/30 = 2(s)，落到车上时的速度 v = - v0 ，把数值代入⑴中，可求得 v0 = 9.8 m/s.

北 v机地vv?机风?风地，其sin30?sin135?sin15?5