工程力学

破坏形式是弹性屈曲失稳，临界应力可由欧拉公式确定。

另一方面，对于长度短、截面尺寸大的杆，由于杆的柔度很小而不至失稳；其破坏形式是强度不足，临界应力为?cr=?ys（延性材料）或?cr=?b（脆性材料）。

压杆的临界应力如图11.8所示。在柔度较小的AB段（?≤?s），杆称为小柔度杆，临界应力?cr=?ys，发生的破坏是强度不足；在柔度较大的CD段（???p），杆是大柔度杆，临界应力?cr=?E/?，发生的破坏是应力小于比例极限的线性弹性屈曲失稳；在中等柔度的BD段（?s≤?≤?p），杆称为中柔度杆，对应的临界应力则为

o ?s 小柔度杆 中柔度杆 2

?

?cr ?=? ?=a-b? cryscrB ?ys A C ?

p ?cr=?2E/?? D ?p 大柔度杆 ?

图11.8 压杆的临界应力总图

?p≤?cr≤?ys，故发生的也是屈曲失稳破坏（并非线性弹性屈曲失稳）。

对于图11.8中BD段的中柔度杆，失稳临界应力的分析比较复杂，其工程计算方法是由下述经验公式给出的：

?cr=a-b? （?s≤?≤?p） ---(11-8)

此即临界应力总图中的虚直线段。a、b分别是与材料相关的参数，单位为MPa。表11-1列出了一些常用材料的a、b值。

表11-1 一些常用材料的a、b值 材 料 低碳钢 优质碳钢 铬锰钢 铸 铁 硬 铝 木 材

a (MPa) 310 461 980 332 372 28.7 b (MPa) 1.14 2.57 5.29 1.45 2.14 0.19 301

?p 100 100 55 80 50 110 ?s 60 60 工程力学

由（11-8）式可知，中柔度杆的下限?s可写为：

?s=(a-?cr)/b ---(11-9) 对于延性材料，式中?cr=?ys，对于脆性材料，?cr=?b。

在工程实际中，对于临界应力总图中BD段的中柔度杆，除用线性经验公式(11-8)式外，还有抛物线型的压杆临界应力经验公式。无论经验公式如何描述，临界应力?cr在二端点B和C处之值，必然应分别为?ys(或?b)和?p。

综上所述，计算压杆临界应力的基本方法、步骤如图11.9所示。

已知杆长、截面

例11.3 低碳钢压杆二端铰支，杆直径d=40mm。已知?ys=242MPa，E=200GPa，若

杆长L1=1.5m、L2=0.8m、L3=0.5m，试计算各杆的临界应力和临界载荷。 解：1）查表确定?s、?p

由表11-1知，对于低碳钢有：

?p=100，?s???，a=310MPa， b=1.14MPa

2）计算杆的柔度????????????=?l/i? 二端铰支压杆：?=1；?

圆形截面的截面惯性半径：i=(I/A)1/2=[(?d4/64)/ (?d2/4)] 1/2=d/4=10mm 杆1的柔度为：????=?L1/i=1500mm/10mm=150?

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已知材料性能，查表或由(11-9)式确定?s、?p 几何，分析约束情况由(11-6)式计算杆的柔度???=?l/i? 判定压杆的类型，计算临界应力: ?≤?s 小柔度杆 ?cr=?ys或?cr=?b??s≤?≤?p 中柔度杆 ?cr=a-b????(11-8)式????p 大柔度杆 ?cr=?2E/?2 (11-5)式 图11.9 确定压杆临界应力的基本方法与步骤

工程力学

杆2的柔度为：????=?L2/i=800mm/10mm=80?杆3的柔度为：????=?L3/i=500mm/10mm=50?

3）判定压杆的类型，计算计算临界应力和临界载荷:

杆1：???=150>?p=100，为大柔度杆，由欧拉公式（11-5）式有：

?2E200?103?2?cr1?2?MPa?87.73MPa?1502Fcr1=?cr1A=(87.73?402?/4)N=110244 N=110 kN

杆2：??s=60???=80

?cr2=a-b?????MPa??????80MPa=218.8 MPa Fcr2=?cr2A=(218.8?402?/4)N=274952 N=275 kN

杆3：???=50>?s=60，为小柔度杆，有：

?cr3=??ys?242 MPa

Fcr3=?cr3A=(242?402?/4)N=304106 N=304 kN

例11.4 矩形截面木杆如图11.10所示，b=0.12m，h=0.2m。已知?ys?25MPa，

E=9.5GPa。若F1=120kN，F2=240kN，试求杆的临界长度。 解：1）由材料性能确定?s、?p 由表11-1知，对于木材有：

a=28.7MPa，b=0.19MPa，?p=110， ?s??a??ys?/b????????????????????

2）不同柔度压杆的临界载荷

由临界应力总图知，?=?p=110时的

临界应力可由线性经验公式（或欧拉公式）求得为：

l/2 z x 图11.10 例11.4图

z F b h y y x F z 303

工程力学

?crp=?p?a-b?p????? MPa????? MPa?110=7.8 MPa， ?s=19.5时的临界应力为：

?crs=?ys=25MPa

3）判断杆的类型，设计杆长

F1=120kN时：

?cr1=F1/A=120000N/(120?200)mm=5 MPa，

由于?cr1=5 MPa

?2E9500?2?1???137?cr5杆在yz平面失稳时，I=Ix=hb3/12；二端可视为固定端，?=0.5。 由(11-6)式有：

L11=?i/?=?????????/???????(0.122/12)1/2/0.5]m=9.49m 杆在yx平面失稳时，I=Iz=bh3/12，二端可视为铰支，?=1；有：

L12=?i/?=?????????/???????(0.22/12)1/2]m=7.9m 故当F=F1=120kN时，杆的临界长度为：

L1=min{ L11、L12}=7.9m F2=240kN时：

?cr2=F2/A=240000N/(120?200)mm=10 MPa

由于?ys>10 MPa>?p=7.8 MPa，故可按中柔度杆设计，由(11-8)式有： ???a??cr2)/b=(28.7-10)/0.19=98.4

杆在yz平面失稳时，I=Ix=hb3/12；二端可视为固定端，?=0.5。 由(11-6)式同样有：

L21=?i/?=?????????/????????(0.122/12)1/2/0.5]m=6.82m

杆在yx平面失稳时，I=Iz=bh3/12，二端可视为铰支，?=1；有：

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工程力学

L22=?i/?=?????????/????????(0.22/12)1/2]m=5.68m

故若F=F2=240kN，杆的临界长度应为： L2=min{ L21、L22}=5.68m

讨论：利用临界应力总图，除可由杆的柔度?判断其类型外，也可由临界应力判断杆的类型，即?cr??p，大柔度杆；?p??cr??ys，中柔度杆；?ys??cr，小柔度杆。

§11.5 压杆的稳定计算

受压杆件的屈曲失稳是在截面应力小于极限强度时发生的。前面的讨论已经给出了压杆稳定临界应力的计算方法。即对于大柔度杆，临界应力?cr按欧拉公式计算，对于中柔度杆，临界应力按线性经验公式计算，然后得到临界载荷Fcr。考虑到载荷估计、约束简化、杆的几何及计算等误差，考虑到材料性能的分散性及可能的偶然超载等等，与强度设计一样，在压杆稳定设计时，同样需要留有保证杆的稳定性的安全储备。

引入稳定许用安全系数nst，则许用压力为[Fst]= Fcr/nst，稳定性条件是：

F?Fcr?[Fst]nst---(11-10)

上式要求杆的工作压力F小于许用压力[Fst]。稳定性条件还可写为：

n?Fcr?nstF---(11-11)

即实际工作稳定安全系数n应大于许用稳定安全系数nst。

稳定许用安全系数的选取，一般应大于强度安全系数。因为加载的偏心、杆的初始曲率、支承条件的实际情况等对强度影响并不显著的因素，对于稳定性却有较大的影响；同时，失稳垮塌的后果也更为严重。一般情况下，钢材稳定许用安全系数取1.8-3.0，铸铁取5.0-5.5，丝杆、活塞杆、发动机挺杆取2.0-6.0，矿山、冶金设

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