例1、 已知函数表

-1 1 2 -3 0 4 求f(x)的Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。 解：

（1） 由题可知 -1 1 2 -3 0 4 插值基函数分别为 故所求二次拉格朗日插值多项式为 （2）一阶均差、二阶均差分别为 均差表为 一二 阶 阶 --3 1 3/1 0 2 5/2 4 4 6 故所求Newton二次插值多项式为 例2、 设f(x)?x2?3x?2，x?[0,1]，试求f(x)在[0,1]上关于?(x)?1，方逼近多项式。

解：

若??span?1,x?，则?0(x)?1，?1(x)?x，且?(x)?1，这样，有 所以，法方程为

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??span?1,x?的最佳平

1?1??23??23??12??a0???6? 2??a0??6?，经过消元得???????????9?a11???0??a1??1??1???????12??3??3????4??11再回代解该方程，得到a1?4，a0?

611*故，所求最佳平方逼近多项式为S1(x)??4x

6??1??1??2例3、 设f(x)?e多项式。

解：

x，x?[0,1]，试求f(x)在[0,1]上关于?(x)?1，??span?1,x?的最佳平方逼近

若??span?1,x?，则?0(x)?1，?1(x)?x，这样，有 所以，法方程为 解法方程，得到a0?0.8732，a1?1.6902， 故，所求最佳平方逼近多项式为 例4、 用n?4的复合梯形和复合辛普森公式计算积分?解：

（1）用n?4的复合梯形公式 由于h?2，f?x??x，xk?1?2k?k?1,2,3?，所以，有 （2）用n?4的复合辛普森公式 由于h?2，f?x??x，xk?1?2k?k?1,2,3?，x91xdx。 k?12?2?2k?k?0,1,2,3?，所以，有 例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。 解：先消元 再回代，得到x3?3，x2?2，x1?1 所以，线性方程组的解为x1?1，x2?2，x3?3 例6、 用直接三角分解法求下列线性方程组的解。 解： 设

则由A?LU的对应元素相等，有

111，u12?，u13?， 456141l21u11??l21?，l31u11??l31?2，

3321111l21u12?u22??u22??，l21u13?u23??u23??，

460545u11?-来源网络，仅供个人学习参考

l31u12?l32u22?1?l32??36，l31u13?l32u23?u33?2?u33?13 15因此，

?1?4解Ly?b，即??3?2?0???y1??9????8?，得y?9，y??4，y??154 10??y2123???????8???y3????361??0?1?4?解Ux?y，即?0???0??151?6001?6??x??9??11?????，得x??177.69，x?476.92，x??227.08 ?x??43212?45??????x???154??13??3??15??所以，线性方程组的解为x1??227.08，x2?476.92，x3??177.69 １、若A是n?n阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L和上三角阵U，使A?LU唯一

成立。 （ ） ２、当n?8时，Newton－cotes型求积公式会产生数值不稳定性。（ ）

i?13、形如的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次数为2n?1。（ ） ?af(x)dx??Aif(xi)bn?210???A??111??012???的２－范数A2＝９。４、矩阵（ ） ?2aa0???A??0a0??00a???，则对任意实数a?0，方程组Ax?b都是病态的。5、设（用??）（）

6、设A?Rn?n，Q?Rn?nT，且有QQ?I（单位阵），则有A2?QA2。（）

7、区间?a,b?上关于权函数W(x)的直交多项式是存在的，且唯一。（）1、（ Ⅹ ）2、

（ ∨ ）3、（Ⅹ ）4、（ ∨ ）5、（Ⅹ ）6、（∨ ）7、（ Ⅹ ）8、（Ⅹ ）

一、 判断题（10×1′）

1、 若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。(×) 2、 解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。(?) 3、 若A为n阶方阵，且其元素满足不等式

则解线性方程组AX＝b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。(×) 4、 样条插值一种分段插值。(?)

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