直线、平面垂直的判定及其性质
[考纲要求] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题． [知识梳理]
1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义
如果一条直线l与平面α内的__任意一条__直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的__两条相交直线__都垂直，则该直线与此平面垂直 ?l⊥α __a，b?α____a∩b＝O____l⊥a____l⊥b__?????性质定理 垂直于同一个平面的两条直线__平行__ ∥b __a⊥α__????a__b⊥α__??2．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是__直二面角__，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理和性质定理 判定定理 性质定理 文字语言 一个平面过另一个平面的一条__垂线__，则这两个平面互相垂直 两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于__交线__的直线与另一个平面垂直 图形语言 符号语言 β ⊥ __l?β__????α?__l⊥α__?错误!?l⊥α [自我检测] 题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( × ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．( × ) (3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( √ ) (4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.( × )
(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．( √ )
(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( × ) 题组二 教材改编
2．下列命题中错误的是( )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 答案 D
解析 对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的． 3．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O. (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心． 答案 (1)外 (2)垂
解析 (1)如图1，连接OA，OB，OC，OP， 在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB， 所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．
(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.
∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，
∴PC⊥平面PAB，又AB?平面PAB，∴PC⊥AB， ∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，
∴AB⊥平面PGC，又CG?平面PGC， ∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．
同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高， 即O为△ABC的垂心． 题组三 易错自纠
4．(2017·湖南六校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下列给出的条件中一定能推出m⊥β的是( ) A．α⊥β且m?α C．m∥n且n⊥β 答案 C
解析 由线面垂直的判定定理，可知C正确．
5.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是( )
B．α⊥β且m∥α D．m⊥n且α∥β
A．与AC，MN均垂直 B．与AC垂直，与MN不垂直 C．与AC不垂直，与MN垂直 D．与AC，MN均不垂直 答案 A
解析 因为DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1， 又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1， 因为OM?平面BDD1B1，所以OM⊥AC. 设正方体的棱长为2，则OM＝1＋2＝3，
MN＝1＋1＝2，ON＝1＋4＝5，
所以OM＋MN＝ON，所以OM⊥MN.故选A.
6.如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是( ) A．MN∥AB
B．平面VAC⊥平面VBC C．MN与BC所成的角为45° D．OC⊥平面VAC
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