(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若E(η)=

55,D(η)= ,求a∶b∶c. 39【解题指南】(1)在分析取到两球的颜色时,要注意是有放回地抽取,即同一个球可能两次都能抽到;(2)根据计算数学期望与方差的公式计算,寻找a,b,c之间的关系. 【解析】(1)由题意得,ξ=2,3,4,5,6,

故 P???2??3?31?， 6?642?3?21P???3???，

6?632?3?1?2?25P???4???，

6?6182?2?11P???5???，

6?691?11P???6???

6?636 所以?的分布列为

? P （Ⅱ）由题意知?的分布列为

2 3 4 5 6 1 41 35 181 91 36? P 1 2 3 abc a?b?ca?b?ca?b?ca2b3c5??? 所以 E????a?b?ca?b?ca?b?c3a5?bc5?5???5?D?????1?????2?????3????

3?a?b?c?3?a?b?c9?3?a?b?c??2a?b?4c?0化简得?，解得a?3c,b?2c

a?4b?11c?0?所以a:b:c?3:2:1.

9. （2013·重庆高考理科·Ｔ18）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个篮球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与篮球的个数，设一、二、三等奖如下：

奖级 一等奖

222摸出红、蓝球个数 获奖金额 3红1蓝 200元 6

二等奖 三等奖 3红0蓝 2红1蓝 50元 10元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级． （Ⅰ）求一次摸球恰好摸到1个红球的概率；

（Ⅱ）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)．

【解题指南】首先设出相应的事件,根据古典概型的公式求出恰好摸到一个红球的概率,然后再求出相应事件的概率列出分布列求出期望.

【解析】设Ai表示摸到i个红球,Bj表示摸到j个蓝球,则Ai(i?0,1,2,3)与Bj(j?0,1)独立.

12C3C418（Ⅰ）恰好摸到1个红球的概率为P(A1)?? 335C7（Ⅱ）X的所有可能值为0,10,50,200,且

3C311 P(X?200)?P(A3B1)?P(A3)P(B1)?3??C731053C322P(X?50)?P(A3B0)?P(A3)P(B0)?3??C731051C32C412461124P(X?0)?1???? P(X?10)?P(A2B1)?P(A2)P(B1)????3105105357310535C7综上知,X的分布列为

X P 200 50 10 0 42 351056421?50??200??4(元). 从而有E(X)?0??10?7351051056 71 10510. （2013·湖南高考理科·Ｔ18）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:

X Y 1 51 2 48 3 45 4 42 这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.

(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率; (2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.

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【解题指南】(1)本三角形地共有15株作物,其中内部3株,边界12株,结合题意求解相应概率. (2)先弄清15株满足相应年产量的各有多少株,然后求出对应的概率,写出分布列再求期望. 【解析】(1)所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为3,边界上的作物

11株数为12,从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有C3C12?36种，选取的两

株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8种.

故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率为(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列. 因为P(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2), P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4),

所以只需求出P(X=k)(k=1,2,3,4)即可,记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k=1,2,3,4),则n1=2,n2=4,n3=6,n4=3. 由P(X=k)=

82?. 369nk246231得P(X=1)= ,P(X=2)= ,P(X=3)= =,P(X=4)= =, N1515155155故所求的分布列为

Y P 所求的数学期望为

51 48 45 42 2 154 152 51 5E(Y)?51?242134?64?90?42?48??45??42??=46. 151555511. （2013·江西高考理科·Ｔ18）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8（如图）这8个点中任取两点分别分终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队.

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(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X的分布列和数学期望.

【解题指南】(1)将基本事件总数求出，然后找所求概率事件的基本事件数，由古典概型公式求得结果；（2）先确定X的可能取值，然后再计算各个概率值即得分布列，最后计算期望值.

2【解析】（1）从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C8?28种，X?0时，两向量夹角

为直角共有8种情形.所以小波参加学校合唱团的概率为P(X?0)?(2)两向量数量积X的所有可能取值为-2，-1,0,1.

82?. 287X??2时，共有2种情形，X??1时，有10种情形，X?1有8种情形.

所以X的分布列为

X P ?2 ?1 0 1 15 141415223?(?1)??0??1???. EX?(?2)?141477142 72 712. （2013·山东高考理科·Ｔ19）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是赛结果互相独立.

（Ⅰ）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率

（Ⅱ）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望.

【解题指南】（Ⅰ）本题考查了相互独立事件的概率；（Ⅱ）本题考查的是随机变量的分布列及数学期望，先列出X的所有值，并求出每个X值所对应的概率，列出分布列，然后根据公式求出数学期望.

【解析】（Ⅰ）记“甲队以3:0胜利”为事件A1，“甲队以3:1胜利”为事件A2，“甲队以3:2胜利”为事件A3，由题意，各局比赛结果相互独立，

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12外，其余每局比赛甲队获胜的概率是 .假设每局比238?2?2?2?故P?A1?????， P?A2??C3??27?3??3?32?2?282?2?， ??1???PA?C??34???3?327?3?2?2?14， ?1?????3?2272所以甲队以3:0胜利、以3:1胜利的概率都为

84，甲队以3:2胜利的概率为. 2727（Ⅱ）设“乙队以3:2胜利”为事件A4，由题意，各局比赛结果相互独立，

?2??2??1?4所以P?A4??C?1??????1???.

?3??3??2?272422由题意，随机变量?的所有可能的取值为0,1,2,3， 根据事件的互斥性得

P???0??P?A1?A2??P?A1??P?A2??又P???1??P?A3??16, 274, 274P???2??P?A4??

273, 27P???3??1?P???0??P???1??P???2??故?的分布列为

? P 0 1 2 3 164 2727164437?1??2??3??. 所以E?=0?2727272794 273 2713.（2013·北京高考理科·Ｔ16）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天

（1）求此人到达当日空气重度污染的概率

（2）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望。 （3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

【解题指南】（1）这是古典概型的概率计算问题，分别求出基本事件空间的基本事件总数、所求事件包含的基本事件总数，作比即可求出概率。

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