（2）天数的可能取值为0，1，2，列出分布列，再求期望。 （3）从图中找一找哪三天的波动最大，则方差也就最大。

【解析】（1）某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，共有13种可能。到达当日空气重度污染有2种可能。所以概率为（2）X可能取值为0，1，2.分布列如下

X P 0 1 2 2。 135 134 134 13E(X)?0?54412?1??2??。 13131313（3）5，6，7三天。

14.(2013·福建高考理科·T16)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为

22,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每

53人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X,求X≤3的概率. (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?

【解析】(1)由已知得:小明中奖的概率为

22,小红中奖的概率为,且两人中奖与否互不影响,记“这

532人的累计得分X≤3”的事件为A,则A事件的对立事件为“X=5”,[ 因为P(X?5)?224??, 351511, 1511. 15所以P(A)=1-P(X=5)=

所以这两人的累计得分X≤3的概率为

(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1,都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2), 由已知:X1~B(2,)，X2~B(2,),

53

11

22所以E(X1)?2?2424?,E(X2)?2??,

5533812,E(3X2)=3E(X2)= , 35所以E(2X1)=2E(X1)= 因为E(2X1)>E(3X2),

所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大.

15. （2013·陕西高考理科·Ｔ19）在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.

(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率.

(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列和数学期望.

【解题指南】利用相互独立事件的概率乘法公式即可得解;通过确定随机变量X的取值,求随机变量X的分布列,求随机变量X的数学期望三步完成.

【解析】(1) 设事件A 表示:观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手。 观众甲选中3号歌手的概率为

23,观众乙未选中3号歌手的概率为1-。 35?1-）?所以P(A) = （23354. 154. 15因此，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为

(2) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取0,1,2,3.

23,观众乙、丙选中3号歌手的概率为。 352324当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X=0，P(X = 0) = (1?)?(1?)?.

3575观众甲选中3号歌手的概率为

当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时，这时X=1，P(X = 1) =

232332338?6?620?(1?)2?(1?）??(1?)?(1?）?(1?)???. 353553557575当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时，这时X=2，P(X = 2) =

23323323312?9?1233??(1?)?(1?）????(1?)???. 355355355757523218当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时，这时X=3，P(X =3) = ?()?.

3575X的分布列如下表：

X 0 1 2 3 12

420 7575420331820?66?5428Ex?0??1??2??3???

75757575751528所以，数学期望EX?.

15P 33 7518 7516. （2013·新课标全国Ⅱ高考理科·Ｔ19）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量.T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.

（1）将T表示为x的函数

（2）根据直方图估计利润T，不少于57000元的概率；

（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，

需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x??100,110?）则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入?100,110?的频率），求T的数学期望。 【解题指南】（1）依题意，可求得T关于x的分段函数;

(2)由频率分布直方图可知，知利润T不少于57000元当且仅当120?X?150.用频率估计概率，可概率的估计值；

（3）由分布列，代入期望公式，得所求.

【解析】（1）当X?[100,130)时，T?500X?300， X?39000?130?X???800当X??130,150?时，T?500?130?65000. 所以 T???800X?39000,100?X?130,

?65000,130?X?150.（2）由（1）知利润T不少于57000元当且仅当120?X?150.

由直方图知需求量X??120,150?的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的

13

概率的估计值为0.7.

(3)依题意可得T的分布列为

T P 45000 0.1 53000 0.2 61000 0.3 65000 0.4 所以 ET＝45000?0.1?53000?0.2?61000?0.3?65000?0.4?59400.

17. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ19）一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.

假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为质品相互独立

（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；

（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.

【解题指南】（Ⅰ）由事件的独立性和互斥性，并结合产品通过检验的情形确定这批产品通过检验的概率；

（Ⅱ）根据题意，先确定X的可能取值，然后求出相应的概率，列出分布列利用期望公式求出期望.

【解析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A1，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A.依题意有A?(A1B1)?(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥,所以

1，且各件产品是否为优211111411133?()3??()4?()4??????. P(A)?P(A1B1)?P(A2B2)?C4222221616162641（Ⅱ）X的可能取值为400，500，800, P(X?500)?

161P(X?800)?

44111P(X?400)?1???

161616所以X的分布列为

X

400 500 800 14

P 11 161 161 4EX?400?1111?500??800??506.25（元） 161641,各18.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ20）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为2局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判. （I）求第4局甲当裁判的概率；

（II）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望. 【解析】（I）记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，

A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，

A表示事件“第4局甲当裁判”.则A?A1?A2.P(A)?P(A1?A2)?P(A11)?P(A2)?4. 方法一：（II）X的可能值为0,1,2

记A3表示事件“第3局乙和丙参加比赛时，结果为乙胜丙”，

B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，

B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，

B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”，

P(X?0)?P(BP(B11B2A3)?1)P(B2)P(A3)?8,

P(X?2)?P(B)?P(B11?B31)P(B3)?4,

P(X?1)?1?1158?4?8,

EX?0?18?1?5198?2?4?8

方法二：（II）由于第一局甲当裁判，乙可能当裁判次数X的可能值为0,1,2 当裁判次数为0：

乙第一局，第二局与第三局赢，第四局决定第五局裁判权，所以不用管第四局输赢. 所以P(X?0)?112?2?112?8. 当裁判次数为1：有三种情况

第一局乙输，第二局乙当裁判，第三局乙赢，概率为

12?12?14；

15