《概率论与数理统计》课程自学指导书
前 言
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. 《概率论与数理统计》是城市规划专业和地理信息系统专业的专业必修课。《概率统计》教材系统阐述了概率论和数理统计的基本内容、理论和应用方法。概率统计是研究随机现象客观规律的数学学科，它的应用非常广泛，并具有独特的思维和方法。通过概率论的学习能使学生了解概率与数理统计的基本概念和基本理论，初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。通过本课程的学习，能够为学生学习后继课程及进一步提高打下必要的数学基础。其内容可分为三大部分。第一部分概率论部分，包括第一、二、三、四、五章。作为基础知识，为读者提供了必要的理论基础。第二部分数理统计部分，包括第六、七、八、九章，主要讲述参数估计和假设检验，并介绍了方差分析和回归分析。第三部分随机过程部分，主要讨论了平稳随机过程，还介绍了马尔可夫过程。
本指导书是作为函授学员在集中授课后，指导自学而编制的。内容较为简明扼要。主要是为了让学员能够抓住要领，掌握重点，理解难点，从而达到能够融会贯通、灵活掌握概率统计的基本概念、基本理论从而解决实际问题的目的。
本指导书的主要参考书目：
１．景泰等编。概率论与数理统计.上海科学技术文献出版社,1991. ２．玉麟主编。概率论与数理统计. 复旦大学出版社，1995。 ３．大茵，陈永华编。概率论与数理统计。浙江大学出版社.1996
本课程的考核内容以教学大纲为依据，注重基本概念、基本理论的掌握和应用的考核。主要考核方式为笔试。
第一章 概率论的基本概念
一、内容概述 #
本章介绍了概率论的基本概念：随机试验、样本空间、随机事件、频率与概率，讨论研究等可能概型问题、条件概率及独立性问题。
二、教学目的要求 #
（1） 理解并掌握概率论的基本概念。 （2） 理解掌握等可能概型问题。 （3） 理解并掌握条件概率。 （4）了解独立性。 三、重、难点内容解析 #
1．随机试验,样本空间,概率的概念。
自然界和社会经济生活中存在许多随机现象,我们通过随机试验研究随机现象的统计规律.随机试验的研究采用集合的方法,因而引入样本空间、随机事件和概率的概念。需要掌握事件的运算关系、概率的定义及性质。 2.等可能概型（古典概型）。
掌握古典概型的特点及计算公式：P(A)= k/n。掌握超几何分布的概率公式。 3.条件概率。
掌握条件概率的定义、公式，乘法定理，全概率公式，贝叶斯公式
4.独立性。
两个事件的相互独立，三个及多个事件的相互独立。 四、复习思考与作业题 # 1. （P32T2）。设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：
（1） A发生，B与C不发生，
（2） A与B都发生，而C不发生， （3） A，B，C中至少有一个发生， （4） A，B，C都发生 （5） A，B，C都不发生
（6） A，B，C中不多于一个发生 （7） A，B，C中不多于两个发生 （8） A，B，C中至少有两个发生 2.（P33T6）。在房间里有10个人，分别佩带从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码，（1）求最小号号码为5的概率。（2）求最大号为5的概率 3.（P33T10）。在11张卡片上分别写上probability这11个字母，从中任意连抽7张，求其排列结果为ability的概率。 4.（P33T16）。据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P{孩子得病}=0.6，P{母亲得病|孩子得病}=0.5，P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4。求母亲及孩子得病但父亲位得病的概率。
5.（P34T19）设甲袋中抓哏内有n 只白球，m只红球；乙袋中装有N只白球，M只红球。今从甲袋中任意取一只放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球。问取到白球的概率是多少？
6.（P35T29）设第一只盒子装有3只蓝球，2只绿球，2只白球，第二只盒子中装有2只蓝球，3只绿球，4只白球。独立地分别在两只盒子中各取一只球， （1） 求至少有一只蓝球的概率；
（2） （2）求有一只蓝球一只白球的概率；
（3） （3）已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率
7.（P36T33）设根据以往的记录的数据分析，某船只余数的某种物品损坏的情况共有三种：损坏2%（这一事件记为P（
，损坏10%（事件A），损坏90%（事件A），且知 A）
1233A）=0.8，P（A）=0.15，P（A）=0.05，现在从已被运输的物品中随机得取
12三件，发现这3件都是好的（这一事件记为B），试求：P（
，P（A|B），P（A|B）。A|B）
123（这里设物品件数很多，取出一件后不影响取后一件是否为好品的概率）
第二章 随机变量及其分布
一、内容概述
本章包含随机变量、离散型随机变量及其分布、随机变量的分布函数、连续型随机变量及其概率密度、随机变量的函数的分布。
二、教学目的要求
（1）正确理解并掌握随机变量、概率密度、分布函数等基本概念及性质。
（2）牢固掌握二项分布、指数分布、泊松分布、正态分布等重要类型的分布的概率分布、分布函数及有关概率计算。
（3）了解随机变量的函数的分布。
三、重、难点内容解析
1.离散型随机变量及其分布律 (1)、二项分布：
(2) 泊松分布:
P?X?k??cknpqkkn?k
2．随机变量的分布函数．
分布函数的定义和性质F?x??P?X?x? 3.连续型随机变量及其概率密度
（1）连续型随机变量概率密度的定义和性质 F?x??（2）均匀分布：f?x??P?X?k???k!
e???f?t?dt
??x1, a?x?b;f?x??0，其他。 b?a1?x/?f?x???e（３）指数分布：，x?0；f?x??0，其他。
?x???21?2（４）正态分布：f?x??，???x??? 2?e2??４.随机变量的函数的分布
四、复习思考与作业题
1. (P69T6)。一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t每个设备被
使用的概率为0.1，问在同一时刻
（1） 恰有2个设备被使用的概率是多少？ （2） 至少有3个设备被使用的概率是多少？ （3） 至多有3个设备被使用的概率是多少？ （4） 至少有1个设备被使用的概率是多少？ 2. （P70T12）。一电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布。求：
（1） 某一分钟恰有8次呼唤的概率。 （2） 某一分钟的呼唤次数大于3的概率。 3. （P71T16）。以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以
分计），X的分布函数是Fx(x)?{（1）
（2） （3） （4） （5）
1?e?0.4x,x?00, x?0， 求下述概率：
P{至多3分钟}；
P{至少4分钟}
P{3分钟至4分钟之间}
P{至多3分钟或至少4分钟} P{恰好2.5分钟}
4. （P71T18）。设随机变量X的概率密度为（1）f(x)?{2(1?1/x),1?x?2,20, 其他， （2）
0?x?１,?x, ?f(x)??2?x,1?x?2 求X的分布函数F（x），并画出（2）中的f（x）及F
?0, 其他?（x）的图形
5. （P72T21）。设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其
?1?x/5?,x?0,概率密度为f(x)??5e 某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他
??0, 其他就离开。他一个月要来银行5次。以Y表示一个月内他未等到服务饿而离开窗口的
次数。写出Y的分布律，并求P{Y?1}
6. （P72T24）。某地区18岁的女青年的血压（收缩压，以mm-Hg计）服从N（110，
。12）
2在该地区任选一18岁的女青年，测量她的血压X。（1）求P{X?105）,P{100 （2）确定最小的x，使P{X>x}?0.05. 7. (P73T29)。设X-N（0，1）。（1）求Y?概率密度。（3）求Y=|X|的概率密度。 8. （73T33）某物体的温度T(oF)是一个随机变量，且有T—N（98.6，2），已知 eX的概率密度；（2）求 Y?2X2?1的 ??(5/9)(T?32)，试求?(oC)的概率密度。 第三章 多维随机变量及其分布 一、内容概述 # 二维随机变量和分布函数，条件分布函数；离散型随机变量（X,Y）的分布律，边缘分布律，条件分布律；连续型随机变量（X,Y）的概率密度，边缘概率密度，条件概率密度；两个随机变量X,Y的独立性；Z?X?Y的概率密度，M?max(X,Y),N?min(X,Y)的概率密度。 二、教学目的要求 # （1） 理解并掌握二维随机变量和分布函数，条件分布函数。 （2） 理解并掌握离散型随机变量（X,Y）的分布律，边缘分布律，条件分布律。 （3） 理解并掌握连续型随机变量（X,Y）的概率密度，边缘概率密度，条件概率密 度 （4） 理解两个随机变量X,Y的独立性。 （5） 掌握Z?X?Y的概率密度，M?max(X,Y),N?min(X,Y)的概率密度。 三、重、难点内容解析 # 1. 二维随机变量 二维离散型随机变量的联合分布律，二维连续型随机变量的联合概率密度 2. 边缘分布 二维离散型随机变量的边缘分布律，二维连续型随机变量的边缘概率密度 ３.条件分布 二维离散型随机变量的条件分布律，二维连续型随机变量的条件概率密度 ４．相互独立的随机变量 相互独立的随机变量的定义及性质 ５．两个随机变量的函数的分布 Z?X?Y的概率密度，M?max(X,Y),N?min(X,Y)的概率密度 四、复习思考与作业题 # 1. （P104T4）将一枚硬币掷3次，以X表示前2次出现H的次数，以Y表示3次 中出现H的次数。求X，Y的联合分布律以及（X，Y）的边缘分布。 ?y??e,0?x?y,??2. （P104T6）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）? 其他?0，求边缘概率密度 3. （P105T9）以X记某医院一天出生婴儿的个数，Y记其中男婴的个数，设X和Y 的联合分布律为P{X?n，Y?m}?e(7.14)6.86?14mn?mm!(n?m)!,m?0,1,2,?。（1）求边缘分布规律；（2）求条件分布律；（3）特别，写出当X=20时，Y的条件分布律。 4. （P105T11）（1）求条件密度 fX|Y(x|y)，特别，写出当Y=1/2时X的条件概(x|y)，特别，分别写出当X=1/3，X=1/2 1131|X?}，P{Y?|X?}。 4242率密度；（2）求条件概率密度 fX|Y时Y的条件概率密度；（3）求条件概率P{Y?5. （P106T16）设X和Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 f??e??y????e,x?0??e,y?0(x)?? ?? 其中??0，??0是常fXY???0, x?0?0, y?0?1，当X?YZ?数。引入随机变量 （1）求条件概率密度?0，当X?Y?fX|Y(x|y)；（2） 求Z的随机分布律和分布函数。 6. （P107T22）设某种型号的电子元件的寿命（以小时计）近似地服从 N（160，分布，随机得选取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率。 20）7. （P107T25）设X，Y是相互独立的随机变量，其中分布律分别为P{X=k}=p(k),k=0,1,2,…, P{Y=r}=q(r),r=0,1,2,…. 证明随机变量Z=X+Y 的分布律为P{Z?i)? ,i?0,1,2,?，?p(k)q(i?k) k?0i28．（P108T28）设随机变量（X，Y）的分布律为 X Y 0 1 2 0 0.00 0.01 0.01 1 0.01 0.02 0.03 2 0.03 0.04 0.05 3 0.05 0.05 0.05 4 0.07 0.06 0.05 5 0.09 0.08 0.06