第3讲 平面向量与复数
专题强化训练
－
1．(2019·绍兴诸暨高考二模)已知复数z满足z(1＋i)＝2i，则z的共轭复数z等于( )
A．1＋i C．－1＋i
B．1－i D．－1－i
2i2i（1－i）
解析：选B.由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝1＋i，
1＋i（1＋i）（1－i）－
则z的共轭复数z＝1－i.故选B.
→→→
2．在等腰梯形ABCD中，AB＝－2CD，M为BC的中点，则AM＝( ) 1→1→A.AB＋AD 223→1→C.AB＋AD 44
3→1→
B.AB＋AD 421→3→D.AB＋AD 24
→→→→
解析：选B.因为AB＝－2CD，所以AB＝2DC.又M是BC的中点，
→1→→1→→→1→→1→3→1→
所以AM＝(AB＋AC)＝(AB＋AD＋DC)＝(AB＋AD＋AB)＝AB＋AD，故选B.
222242
3．(2019·嘉兴一中高考模拟)复数z满足z·(2－i)＝3－4i(其中i为虚数单位)，则复数||＝( )
i
A.25
355
3
B.2
zC.D.5
解析：选D.复数z满足z·(2－i)＝3－4i(其中i为虚数单位)，所以z·(2－i)(2＋i)
z?2－i??－i（2－i）?
＝(3－4i)(2＋i)，化为：5z＝10－5i，可得z＝2－i.则复数||＝??＝??＝
i?i??－i·i?
|－1－2i|＝|1＋2i|＝1＋2＝5.故选D.
→→
4.在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC和DC的中点，则DE·BF＝( )
5A．－
2C．－4
3B．
2D．－2
2
2
解析：选C.通过建系求点的坐标，然后求解向量的数量积．在边长为2的正方形ABCD中，
E，F分别为BC和DC的中点，以A为坐标原点，AB，AD为坐标轴，建立平面直角坐标系，则B(2，0)，D(0，2)，E(2，1)，F(1，2)．所以DE＝(2，－1)，BF＝(－1，2)，所以DE·BF＝
－4.
5．(2019·台州市书生中学检测)已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB＝3，AC＝4.若→→→
存在非零实数x、y，使得AO＝xAB＋yAC，且x＋2y＝1，则cos∠BAC的值为( )
2A. 3C.2 3
B.3 3→
→
→
→
1D. 3
→→→→→
解析：选A.设线段AC的中点为点D，则直线OD⊥AC.因为AO＝xAB＋yAC，所以AO＝xAB＋→
2yAD.又因为x＋2y＝1，所以点O、B、D三点共线，即点B在线段AC的中垂线上，则AB＝BC3＋4－32
＝3.在△ABC中，由余弦定理得，cos∠BAC＝＝.故选A.
2×3×43
π→→→
6．在△ABC中，AB＝3，BC＝2，∠A＝，如果不等式|BA－tBC|≥|AC|恒成立，则实
2数t的取值范围是( )
A．[1，＋∞)
1??C．?－∞，?∪[1，＋∞) 2??
2
2
2
?1?B．?，1?
?2?
D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
3→→→
，由|BA－tBC|≥|AC|，得212
解析：选C.在直角三角形ABC中，易知AC＝1，cos∠ABC＝→2
→→
→
→
BA－2tBA·BC＋t2BC2≥AC2，即2t2－3t＋1≥0，解得t≥1或t≤.
7．称d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”．若向量a，b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则( )
A．a⊥b C．a⊥(a－b)
B．b⊥(a－b) D．(a＋b)⊥(a－b)
解析：选B.由于d(a，b)＝|a－b|，因此对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，即|a－tb|≥|a－b|，即(a－tb)≥(a－b)，t－2ta·b＋(2a·b－1)≥0对任意的t∈R都成立，因此有(－2a·b)－4(2a·b－1)≤0，即(a·b－1)≤0，得a·b－1＝0，故a·b－b＝b·(a－b)＝0，故b⊥(a－b)．
??a，a≥b8．(2019·温州市高考模拟)记max{a，b}＝?，已知向量a，b，c 满足|a|＝1，
?b，a＜b?
2
2
2
2
2
2
|b|＝2，a·b＝0，c＝λa＋μb(λ，μ≥0，且λ＋μ＝1，则当max{c·a，c·b}取最小值
时，|c|＝( )
A.25
5
B.D.22
35 2
C.1
解析：选A.如图，
→
设OA＝a，OB＝b，则a＝(1，0)，b＝(0，2)， 因为λ，μ≥0，λ＋μ＝1，所以0≤λ≤1. 又c＝λa＋μb，
所以c·a＝(λa＋b－λb)·a＝λ；
c·b＝(λa＋b－λb)·b＝4－4λ.
4
由λ＝4－4λ，得λ＝.
5
4
λ，≤λ≤1??5
所以max{c·a，c·b}＝?.
4
??4－4λ，0≤λ＜5
??
令f(λ)＝?.
4
??4－4λ，0≤λ＜5
λ，≤λ≤1
4
5
?4?则f(λ)∈?，1?. ?5?
441
所以f(λ)min＝，此时λ＝，μ＝，
55541?42?
所以c＝a＋b＝?，?.
55?55?所以|c|＝
?4?＋?2?＝25.故选A.
?5??5?5????
2
2
2
22
9．(2019·绍兴市柯桥区高三期中检测)已知平面向量a，b，c满足|a|＝4，|b|＝3，|c|＝2，b·c＝3，则(a－b)(a－c)－[(a－b)·(a－c)]的最大值为( )
A．43＋37 C．(43＋37)
2
B．47＋33 D．(47＋33)
2
→→→
解析：选D.设OA＝a，OB＝b，OC＝c，a－b与a－c所成夹角为θ， 则(a－b)(a－c)－[(a－b)·(a－c)] ＝|AB||AC|－|AB||AC|cosθ
2
2
2
2
2
2
2
2
＝|AB||AC|sinθ＝|AB||AC|sin∠CAB＝4S△ABC， 因为|b|＝3，|c|＝2，b·c＝3，所以b，c的夹角为60°， 设B(3，0)，C(1，3)，则|BC|＝7，
133
所以S△OBC＝×3×2×sin 60°＝，设O到BC的距离为h，
22133
则·BC·h＝S△OBC＝， 22321所以h＝，
7
因为|a|＝4，所以A点落在以O为圆心，以4为半径的圆上， 321
所以A到BC的距离最大值为4＋h＝4＋.
7所以S△ABC的最大值为 1?321?×7×?4＋? 27??＝27＋
33
， 2
2
2
2
2222222
33?2?2
所以(a－b)(a－c)－[(a－b)·(a－c)]最大值为4?27＋?＝(47＋33).故选
2??D.
10．(2019·金华市东阳二中高三月考)若a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝λ|a＋b|，
λ∈?
?3?
，1?，则b与a－b的夹角的取值范围是( ) ?3?
A.?C.?
?π，2π?
?
?33??2π，π?
?
?3?
B.?D.?
?2π，5π?
6??3??5π，π? ?
?6?
解析：选B.因为|a|＝|b|＝λ|a＋b|，λ∈?不妨设|a＋b|＝1，则|a|＝|b|＝λ.
?3?，1?， ?3?
→→
令OA＝a，OB＝b，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，
π
则平行四边形OACB为菱形．故有△OAB为等腰三角形，故有∠OAB＝∠OBA＝θ，且0<θ<.
2→→
而由题意可得，b与a－b的夹角，即OB与BA的夹角，等于π－θ，△OAC中，由余弦定理可得|OC|＝1＝|OA|＋|AC|－2|OA|·|AC|·cos 2θ＝λ＋λ－2·λ·λcos 2θ，解得cos
2
2
2
2
2
1311311π2π
2θ＝1－2.再由≤λ≤1，可得≤2θ≤，所以≤2θ≤，2≤，所以－≤cos
2λ322λ22233ππ2π5π?2π5π?所以≤θ≤，故≤π－θ≤，即b与a－b的夹角π－θ的取值范围是?，?.
6?6336?3
1＋ai
11．(2019·杭州市高考二模)已知复数z＝(a∈R)的实部为1，则a＝________，|z|
i＝________．
1＋ai（1＋ai）（－i）
解析：因为z＝＝＝a－i的实部为1， 2
i－i所以a＝1，则z＝1－i，|z|＝2. 答案：1
2
12．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)设e1，e2为单位向量，其中a＝2e1＋e2，b＝e2，且
a在b上的投影为2，则a·b＝________，e1与e2的夹角为________．
解析：设e1，e2的夹角为θ，因为a在b上的投影为2， 所以
a·b（2e1＋e2）·e21
＝＝2e1·e2＋|e2|2＝2|e1|·|e2|cos θ＋1＝2，解得cos θ＝，|b||e2|2
π2
则θ＝.a·b＝(2e1＋e2)·e2＝2e1·e2＋|e2|＝2|e1|·|e2|cos θ＋1＝2.
3
答案：2
π 3
13．已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤6，则a·b的最大值是________．
解析：由题意，令e＝(1，0)，a＝(cos α，sin α)，b＝(2cos β，2sin β)，则由|a·e|＋|b·e|≤6，可得|cos α|＋2|cos β|≤6.①令sin α＋2sin β＝m，②
①＋②得4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1＋m对一切实数α，β恒成立，所以4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1，
1故a·b＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤.
21答案： 2
→
14．(2019·温州市十五校联合体联考)已知坐标平面上的凸四边形ABCD满足AC＝(1，→→→
3)，BD＝(－3，1)，则凸四边形ABCD的面积为________；AB·CD的取值范围是________． →→→→→→
解析：由AC＝(1，3)，BD＝(－3，1)得AC⊥BD，且|AC|＝2，|BD|＝2，所以凸四边形
2
2
2
ABCD的面积为×2×2＝2；因为ABCD为凸四边形，所以AC与BD交于四边形内一点，记为M，
12