第六章 数列

全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 1.考查形式 高考在本章一般命制2道小题或者1道解答题，分值占10～12分. 2.考查内容 (1)高考对小题的考查一般以等差、等比数列的基本量运算，等差、等比数列的性质为主. (2)解答题一般以数列递推关系为载体，考查数列通项公式的求法，等差、等比数列的证明，数列求和 的方法等. 3.从近几年高考试题可以看出，高考对数列知识的考查既重视基础又注重能力且难度有可能会逐步加大. 第一节 数列的概念与简单表示法

[最新考纲] 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．

1．数列的定义

按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的分类

分类原则 按项数分类 类型 有穷数列 无穷数列 满足条件 项数有限 项数无限 其中 按项与项间 递增数列 an＋1＞an 的大小关系 递减数列 an＋1＜an 分类

常数列 an＋1＝an n∈N* - 1 -

3.数列的通项公式

如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个函数式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

4．数列的递推公式

如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．

5．an与Sn的关系

若数列{an}的前n项和为Sn，

??S1，n＝1，

则an＝?

?Sn－Sn－1，n≥2.?

特别地，若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列． ( ) (2)1,1,1,1，…，不能构成一个数列． ( )

(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列． ( )

(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N，都有an＋1＝Sn＋1－Sn. [答案](1)× (2)× (3)× (4)√ 二、教材改编

111

1．已知数列，，，…，

1×22×33×4nA.

1

，…，下列各数中是此数列中的项的是( ) n＋1

*

( )

1111 B. C. D. 35424854

1

，结合选项可知B正确．]

nn＋1

－1

nB [该数列的通项an＝

2．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋3A. 28C. 5D [a2＝1＋

－1

2

an－1

(n≥2)，则a5等于( )

5B. 32D. 3

a1

4

＝2，a3＝1＋

－1

－1

3

a2

5

1＝， 2

a4＝1＋

－1

a3

＝3，a5＝1＋

a4

2＝.] 3

- 2 -

3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n＋1，则an＝ .

??2，n＝1，?*??2n－1，n≥2，n∈N

2

[当n＝1时，a1＝S1＝2.

当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，

??2，n＝1，故an＝?*

?2n－1，n≥2，n∈N.?

]

4．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝ .

5n－4 [由a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，…，归纳an＝5n－4.]

考点1 由数列的前几项求数列的通项公式 利用观察法求数列通项要抓住数列的4个特征

(1)分式中分子、分母的特征． (2)相邻项的变化特征．

(3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征． (4)各项符号特征等．

根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：

246810

(1)，，，，，…； 315356399(2)－1,7，－13,19，…； 1925

(3)，2，，8，，…； 222(4)5,55,555,5 555，….

[解](1)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2,4,6，…，相邻的偶数．故所求数列的一个通项公式为an＝

2n2n－1

2n＋1

n. (2)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝(－1)(6n－5)．

n - 3 -