第二章 导数与微分及导数的应用

一 导数的概念与导数的计算

1. 导数的晚概念及几何意义 （1）导数的定义

设函数

点处有增量，函数

时，极限

在点的某一邻域内有定义，当自变量在就有相应的增量

，若当

存在，则称函数处的导数，记为

在点处可导，并称此极限值为函数在点

或.

如果极限

不存在，则称函数在点处不可导.

导数概念是高等数学一个重要的基本概念，应深刻理解它

的定义形式及实际背景.应注意以下两点：

·导数的另一种表达形式为· 对于固定的，要搞清

示

在点导数的值，而后者表示对常数

.

（2）导数的几何意义

.

与

的差别.前者表求导数，因此

函数

在点

切线的倾斜角图2.1 如果函数

在点

如果函数为：

（3）左、右导数

处的切线的斜率，即

在点处的导数

，其中

表示曲线是在

处

，如图2.1所示.

在点 处连续，而导数为无穷大，即

处的切线垂直于 轴 .

，则曲线

在点处可导，则曲线

，法线方程为

在点处的切线方程

左导数：

右导数：

函数

在点处可导的充分必要条件是：

.

在处的左、右导数均

存在且相等，即

[注意]

·可导与连续的关系

若函数若函数

在处可导，那么函数在处连续，该函数

必在处连续，反之，

在

在处未必可导.如函数

处连续但不可导，即函数在处可导是连续的充分条件，而连续是可导的必要条件.由此可知，若不可导.

·分段函数在分界点处的导数

函数在处可导的充要条件是在处的左、右导数均存在并相等，因此要求分段函数在分界点处的导数，首先要求出该点的左导数和右导数，如果都存在并相等，那么函数在该点处可导，且；如果在处的左、右导数有一个不存在或

者左、右导数都存在但不相等，那么函数在该点不可导.

2. 求导数的方法

（1）基本初等函数的导数公式

在处不连续，则在处必

（为常数）；

（为任意实数）；

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；

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