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第二章 导数与微分及导数的应用

一 导数的概念与导数的计算

1. 导数的晚概念及几何意义 (1)导数的定义

设函数

点处有增量,函数

时,极限

在点的某一邻域内有定义,当自变量在就有相应的增量

,若当

存在,则称函数处的导数,记为

在点处可导,并称此极限值为函数在点

或.

如果极限

不存在,则称函数在点处不可导.

导数概念是高等数学一个重要的基本概念,应深刻理解它

的定义形式及实际背景.应注意以下两点:

·导数的另一种表达形式为· 对于固定的,要搞清

在点导数的值,而后者表示对常数

.

(2)导数的几何意义

.

的差别.前者表求导数,因此

函数

在点

切线的倾斜角图2.1 如果函数

在点

如果函数为:

(3)左、右导数

处的切线的斜率,即

在点处的导数

,其中

表示曲线是在

,如图2.1所示.

在点 处连续,而导数为无穷大,即

处的切线垂直于 轴 .

,则曲线

在点处可导,则曲线

,法线方程为

在点处的切线方程

左导数:

右导数:

函数

在点处可导的充分必要条件是:

.

在处的左、右导数均

存在且相等,即

[注意]

·可导与连续的关系

若函数若函数

在处可导,那么函数在处连续,该函数

必在处连续,反之,

在处未必可导.如函数

处连续但不可导,即函数在处可导是连续的充分条件,而连续是可导的必要条件.由此可知,若不可导.

·分段函数在分界点处的导数

函数在处可导的充要条件是在处的左、右导数均存在并相等,因此要求分段函数在分界点处的导数,首先要求出该点的左导数和右导数,如果都存在并相等,那么函数在该点处可导,且;如果在处的左、右导数有一个不存在或

者左、右导数都存在但不相等,那么函数在该点不可导.

2. 求导数的方法

(1)基本初等函数的导数公式

在处不连续,则在处必

(为常数);

(为任意实数);

; ;