第三讲 概率

一、选择题

1．(2018·高考全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )

A．0.3 C．0.6

B．0.4 D．0.7

解析：由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4. 故选B. 答案：B

2．(2018·云南模拟)在正方形ABCD内随机生成n个点，其中在正方形ABCD内切圆内的点共有m个，利用随机模拟的方法，估计圆周率π的近似值为( )

A. C.4m

mnB.D.

2mn6m

nn解析：依题意，设正方形的边长为2a， πam则该正方形的内切圆半径为a，于是有2≈，

4an4m4m即π≈，即可估计圆周率π的近似值为. 2

nn答案：C

3．(2018·沧州联考)已知函数f(x)＝x，在区间(－1,4)上任取一点，则使f′(x)＞0

e的概率是( )

1A. 21C. 3

2

x2

2B. 51D. 6

2

2x－x2x－x解析：f′(x)＝x，由f′(x)＞0可得f′(x)＝x＞0，解得0＜x＜2，根据几

ee2－0

何概型的概率计算公式可得所求概率P＝

4－－

答案：B

4．在区间[0,1]上随意选择两个实数x，y，则使x＋y≤1成立的概率为( )

2

2

2＝. 5

1

A.C.

π 2π 3

B.D.

π 4π 5

2

2

解析：如图所示，试验的全部结果构成正方形区域，使得x＋y≤1成1

立的平面区域为以坐标原点O为圆心，1为半径的圆的与x轴正半轴，y轴

4π4π

正半轴围成的区域，由几何概型的概率计算公式得，所求概率P＝＝. 14

答案：B

5．已知向量a＝(x，y)，b＝(1，－2)，从6张大小相同分别标有号码1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取两张，x，y分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足a·b＞0的概率是( )

A.1

12

3B. 41D. 6

1C. 5

解析：设(x，y)表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有6×6＝36个，a·b＞0，即x－2y＞0，满足x－2y＞0的基本事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)，共6个，所以所求概率P＝

答案：D

6．(2018·湖南五校联考)在矩形ABCD中，AB＝2AD，在CD上任取一点P，△ABP的最大边是AB的概率是( )

61

＝. 366

A.2 2

B.3 2

C.2－1 D.3－1

解析：分别以A，B为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于P1，

P2，则当P在线段P1P2间运动时，能使得△ABP的最大边是AB，易

得

P1P2

＝3－1，即△ABP的最大边是AB的概率是3－1. CD答案：D

2

7．(2018·天津六校联考)连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量a＝(m，n)与向量

b＝(－1,1)的夹角θ＞90?的概率是( )

A.5 12

B.7 12

1C. 31D. 2

解析：连掷两次骰子得到的点数(m，n)的所有基本事件为(1,1)，(1,2)，…，(6,6)，共36个．

∵(m，n)·(－1,1)＝－m＋n＜0，

∴m＞n.符合要求的事件为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，155

(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共15个，∴所求概率P＝＝.

3612

答案：A

x≤0，??

8．由不等式组?y≥0，

??y－x－2≤0

??x＋y≤1，

确定的平面区域记为Ω1，不等式组?

?x＋y≥－2?

确

定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )

1

A. 83C. 4

1B. 47D. 8

1

解析：由题意作图，如图所示，Ω1的面积为×2×2＝2，图中阴

2747117

影部分的面积为2－××1＝，则所求的概率P＝＝.

22428

答案：D 二、填空题

9．(2018·长沙模拟)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．

14

解析：由题意，在正方体中与点O距离等于1的是个半球面，V正＝23＝8，V半球＝×π×13

232

＝π， 3

V半球2πππ

＝＝，∴所求概率P＝1－. V正8×31212

3