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第一章 推理与证明练习题
1．“蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴等爬行动物是用肺呼吸的，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的．”此推理方法是： ；
2．在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第25项为： ；
n＋21111
3．证明<1＋＋＋＋…＋
22342n4．否定结论“至多有两个解”的说法是： ；
1
5．三角形的面积为S＝(a＋b＋c)r，a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的
2
半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为： ；
6．某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平地上到第一级台阶时有f(1)种走法，从平地上到第二级台阶时有f(2)种走法……则他从平地上到第n级(n≥3)台阶时的走法f(n)等于： ；
3
7．已知f(x)＝x＋x，a，b，c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值一定： ；
11
8．数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－，则a2 013等于： ；
2an31537
9．一个数列{an}的前n项为，，，，，….则猜想它的一个通项公式为an＝________.
5211717
10．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形，第n个图中有________个小正方形．
图1
2
11．用反证法证明命题“若x－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设为________．
a11＋a12＋…＋a20a1＋a2＋…＋a30
12．已知等差数列{an}中，有＝，则在等比数列{bn}中，
1030
会有类似的结论：________________.
13．已知a＋b＋c＝0，比较ab＋bc＋ca的大值与0的大小；
332,3332,33332
14．观察下列等式：1＋2＝31＋2＋3＝61＋2＋3＋4＝10，….根据上述规律，第五个等式为________________________．
2an15．(本小题满分12分)若a1>0，a1≠1，an＋1＝(n＝1,2，…)．
1＋an(1)求证：an＋1≠an；
1
(2)令a1＝，写出a2，a3，a4，a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an.
2
nn16．(2014·银川模拟)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x＋y能被x＋y整除”的第二步是( )
A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(k∈N＋) B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确(k∈N＋) C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确(k∈N＋)
D．假设n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(k∈N＋)
11135*
17．f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N)，经计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞
23n22
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7
3，f(32)＞.推测：当n≥2时，有____________．
2
18．(2014·陕西文，14)已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，
1＋xn∈N＋， 则f2014(x)的表达式为________．
19．(本小题满分12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图2为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
x图2
(1)求出f(5)的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；
1111
(3)求＋＋＋…＋的值．
ff－1f－1fn－1
20．(本小题满分14分)函数列{fn(x)}满足f1(x)＝
x1＋x2(x>0)，fn＋1(x)＝f1[fn(x)]．
(1)求f2(x)，f3(x)；
(2)猜想fn(x)的表达式，并证明．
21．已知数列{an}，a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N＋)． (1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式； (2)用数学归纳法证明{an}的通项公式．
22．(山东高考)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N＋，点(n，Sn)均在函x数y＝b＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图像上．
(1)求r的值；
(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N＋)，证明：对任意的n∈N＋，不等式b1＋1b2＋1bn＋1
··…·>n＋1成立．
b1b2bn
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x[解析] (1)解：因为对任意n∈N＋，点(n，Sn)均在函数y＝b＋r(b>0且b≠1，b，rn均为常数)的图像上，所以Sn＝b＋r.当n＝1时，a1＝S1＝b＋r，
nn－1nn－1n－1
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝b＋r－(b＋r)＝b－b＝(b－1)b，
n－1
又因为{an}为等比数列，所以r＝－1，公比为b，an＝(b－1)b.
n－1n－1
(2)证明：当b＝2时，an＝(b－1)b＝2， bn＝2(log2an＋1)＝2(log22n－1＋1)＝2n， bn＋12n＋1b1＋1b2＋1bn＋13572n＋1则＝，所以··…·＝···…·.
bn2nb1b2bn2462n3572n＋1
下面用数学归纳法证明不等式：··…·>n＋1.
2462n33
①当n＝1时，左边＝，右边＝2，因为>2，所以不等式成立．
22
②假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立， 3572k＋1即···…·>k＋1.则当n＝k＋1时， 2462k3572k＋12k＋3左边＝···…·· 2462k2k＋2
2k＋3>k＋1·＝2k＋2＝＝
k＋k＋
＋k＋k＋
2 ＋1 k＋k＋
2
1
>k＋＋1， k＋
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
由①②可得，不等式对任何n∈N＋都成立， b1＋1b2＋1bn＋1即··…·>n＋1恒成立．
＋1＋
b1b2bn【解】 (1)f(5)＝41.
(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1， f(3)－f(2)＝8＝4×2， f(4)－f(3)＝12＝4×3， f(5)－f(4)＝16＝4×4， …
由以上规律，可得出f(n＋1)－f(n)＝4n，
因为f(n＋1)－f(n)＝4n，所以f(n＋1)＝f(n)＋4n，所以f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)
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