导数的概念及运算

一，导数的概念

1.设函数y?f(x)在x?x0处附近有定义，当自变量在x?x0处有增量?x时，则函数

y?f(x)相应地有增量?y?f(x0??x)?f(x0)，如果?x?0时，?y与?x的比

（也叫函数的平均变化率）有极限即

?y?x?y无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函?xf(x0??x)?f(x0)数y?f(x)在x?x0处的导数，记作y?x?x0，即f?(x0)?lim

?x?0?x在定义式中，设x?x0??x，则?x?x?x0，当?x趋近于0时，x趋近于x0，因

此，导数的定义式可写成

f?(x0)?lim?x?of(x0??x)?f(x0)f(x)?f(x0)?lim. x?x0?xx?x02.求函数y?f(x)的导数的一般步骤：?1?求函数的改变量?y?f(x??x)?f(x)

?2?求平均变化率

?yf(x??x)?f(x)?y；?3?取极限，得导数y??f?(x)?lim ??x?0?x?x?x3.导数的几何意义：

f(x0??x)?f(x0)是函数y?f(x)在点x0处的瞬时变化率，它

?x?0?x反映的函数y?f(x)在点x0处变化的快慢程度. ．．

导数f?(x0)?lim它的几何意义是曲线y?f(x)上点（x0,f(x0)）处的切线的斜率.因此，如果

y?f(x)在点x0可导，则曲线y?f(x)在点（x0,f(x0)）处的切线方程为 y?f(x0)?f?(x0)(x?x0)

4.导函数(导数):如果函数y?f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一

个x?(a,b)，都对应着一个确定的导数f?(x)，从而构成了一个新的函数f?(x), 称这个函数f?(x)为函数y?f(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y?，即f?(x)＝y?＝lim?yf(x??x)?f(x)?lim

?x?0?x?x?0?x函数y?f(x)在x0处的导数y?x?x0就是函数y?f(x)在开区间(a,b)(x?(a,b)) 1

上导数f?(x)在x0处的函数值，即y?记作f?(x0) x?x0＝f?(x0).所以函数y?f(x)在x0处的导数也

1．用导数的定义求下列函数的导数：?1? y?f(x)?x；?2? y?f(x)?24 2x

2．?1?已知lim

△x?0f(x0?2△x)?f(x0)?1，求f?(x0)

3△x?2?若f?(3)?2，则limx?1

二，导数的四则计算

f(3)?f(1?2x)?

x?1常用的导数公式及求导法则： （1）公式

①C?0，（C是常数） ③(cosx)??sinx

x'x''

②(sinx)?cosx ④(x)?nxx'xn'n?1'

⑤(a)?alna ⑦(logax)?'⑥(e)?e ⑧(lnx)?'1 xlna

1 x 2

11' ⑩（ cotx)??cos2xsin2x'''（2）法则：[f(x)?g(x)]?[f(x)]?[g(x)]，

⑨(tanx)?'[f(x)g(x)]'?f'(x)g(x)?g'(x)f(x)

f(x)'f'(x)g(x)?g'(x)f(x) [ ]?g(x)g2(x)2，复合函数的求导法则：复合函数y?f(g(x))的导数和函数y?f(u)，u?g(x)的导数间的关系为yx'?yu'?ux'.

题型1， 导数的四则计算 1，求下列函数的导数：

?1? y?ex?lnx

?3?y?sinx1?cosx

?5?y?3x?ex?2x?e

?2? y?ex?1ex?1

?4?y??x2?1??sinx?x?cosx

?6?y??3x3?4x???2x?1?

3

2，求导数

（1）y?x3x2?4 （2）y?

（3）y?3cosx?4sinx （4）y??2x?3?

（5）y?ln?x?2?

三，复合函数的导数 链式法则

若y= f (u)，u=?(x)? y= f [?(x)]，则

2??sinx xy?x=f?(u)??(x)

若y= f (u)，u=?(v)，v=?(x)

? y= f [?(?(x))]，则

y?x=f?(u)??(v)??(x)

说明：复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，

且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。在求导时要由外到内，逐层求导。 1，函数y?

4

1的导数. 4(1?3x)

2，求y?5x1?x的导数．

3，求下列函数的导数

y?3?2x

4，求下列函数的导数

（1）y=1?2xcos x

5 ，设y?ln(x?x?1) 求 y?.

2）y=ln (x+1?x2)

5

（