→→→
→
→
2
→
2
→→
→
→
＝AB·AD＋(1－λ)AB＋λAD＋λ(1－λ)AD·AB. π22
又∵AB·AD＝2×1×cos＝1，AB＝4，AD＝1，
3→→
∴AM·AN＝－λ－2λ＋5＝－(λ＋1)＋6.
→→
∵0≤λ≤1，∴2≤AM·AN≤5， →→
即AM·AN的取值范围是[2,5]．
核心规律
1．计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．
2．求向量模的常用方法：利用公式|a|＝a，将模的运算转化为向量的数量积的运算． 3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧． 满分策略
1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．
→→
2．向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，AB与BC的夹角应为120°，而不是60°.
3．两个向量的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有
2
2
2
2
a·b<0，反之不成立.
板块三 启智培优·破译高考
创新交汇系列5——平面几何中的向量数量积运算
→
→
→
→→
→→
[2017·天津高考]在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若BD＝2DC，AE＝λAC－AB(λ∈R)，且AD·AE＝－4，则λ的值为________．
解题视点 用平面向量解决平面几何问题时有两种方法：基向量法和坐标系法． →→
12
解析 解法一：由BD＝2DC得AD＝AB＋AC，
33
→
→
→
→→→→→→→→→→
?→→?112222
所以AD·AE＝?1AB＋2AC?·(λAC－AB)＝λAB·AC－AB＋λAC－AB·AC，
33333??3→→→
→
→
2
→
2
又AB·AC＝3×2×cos60°＝3，AB＝9，AC＝4， 811
所以AD·AE＝λ－3＋λ－2＝λ－5＝－4，
333
解得λ＝.
11
解法二：以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，因为AB＝3，
→
→
AC＝2，∠BAC＝60°，所以B(3，0)，C(1，3)，又BD＝2DC，所以D?，→
→
→
?523?
?，所以AD＝
?33?
→
→
→
5?523?
?，?，而AE＝λAC－AB＝λ(1，3)－(3,0)＝(λ－3，3λ)，因此AD·AE＝3(λ－?33?
231133)＋×3λ＝λ－5＝－4，解得λ＝.
3311
答案
3
11
答题启示 向量具有代数和几何的双重特征，比如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征；而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础.在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题变得更加简捷.
跟踪训练
→→
在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC·BE＝1，求AB的长．
→→1
解 解法一：由题意可知，AC＝AB＋AD，BE＝－AB＋AD.
2
→→
→→
?→→?
因为AC·BE＝1，所以(AB＋AD)·?－1AB＋AD?＝1，
?2?
→→→
1122
即AD＋AB·AD－AB＝1.①
22
1
因为|AD|＝1，∠BAD＝60°，所以AB·AD＝|AB|，
2→→112
因此①式可化为1＋|AB|－|AB|＝1.
42
11
解得|AB|＝0(舍去)或|AB|＝，所以AB的长为.
22
解法二：以A为原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，过D作DM⊥AB于点M.由AD＝1，∠BAD＝60°，
133??1
可知AM＝，DM＝，则D?，?.
22?22?3??1
设|AB|＝m(m>0)，则B(m,0)，C?m＋，?，
?22?3??m1
因为E是CD的中点，所以E?＋，?.
?222?
→
→
→
→→
→
→
→→→→
3??11
所以BE＝?－m，?，
2??22→
→
AC＝?m＋，→→
?
?
12
3??. 2?
由AC·BE＝1可得
?m＋1??1－1m?＋3＝1， ?2??22?4????
12
即2m－m＝0，所以m＝0(舍去)或m＝.
21
故AB的长为.
2
板块四 模拟演练·提能增分
[A级 基础达标]
1．[2018·许昌模拟]设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，
b∥c，则|a＋b|＝( )
A.5 B.10 C．25 D．10 答案 B
1y解析 由a⊥c，得a·c＝2x－4＝0，解得x＝2.由b∥c，得＝，解得y＝－2.所
2－4以a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝10.故选B.
→
2．[2015·广东高考]在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝
→
→→
(1，－2)，AD＝(2,1)，则AD·AC＝( )
A．5 B．4 C．3 D．2 答案 A