问题20 由复杂递推关系式求解数列的通项公式问题

一、考情分析

递推公式是给出数列的一种重要方法,常出现在客观题压轴题或解答题中，难度中等或中等以上.利用递推关系式求数列的通项时,通常将所给递推关系式进行适当的变形整理,如累加、累乘、待定系数等,构造或转化为等差数列或等比数列,然后求通项. 二、经验分享

(1) 已知Sn，求an的步骤

当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；(3)对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式． 整理得：

，

（叠乘法）因为，

a32ana43n?1???所以， ，…， ， a21a32an?1n?2an?n?1，且当n=1、2时，满足此式， 相乘得a2所以

.

(三) 用构造法求数列的通项

【例3】【江苏省泰州中学2018届高三12月月考2】已知数列?an?满足： a1?1，则数列?an?的通项公式为__________．

，（ n?N*），

【分析】变形为,构造新数列求解.

【答案】an?1 n2?1得：

，变形得：

，所以{【解析】由

1?1}是以2为公比an的等比数列，所以

，所以an?1. 2n?1【点评】数列是一种特殊的函数,通过递推公式写出数列的前几项再猜想数列的通项时,要验证通项的正确性. 易出现的错误是只考虑了前3项,就猜想出an.用构造法求数列的通项,要仔细观察递推等式,选准要构

造的新数列的形式,再确定系数.

{bn}满足a1?【小试牛刀】已知数列{an}，【答案】

2015． 20161,an?bn?1,2 ,n?N?,则b2015? ．

(四) 利用Sn与an的关系求数列的通项 【例4】已知数列?an?的前n项和为Sn,（1）求?an?的通项公式；

,数列?bn?的前n项和为Tn,证明：

．

（2）设．

【分析】（1）已知和Sn与项an的关系,要求通项公式,可在已知代n（n?3）,得

（n?2）基础上,用n?1,两式相减得an（n?2）的递推式,求得an,注意a1的值与an的表达式

,考虑到证明和Tn?的关系；（2）由（1）bn是分段函数形式,n?2时,

7,因此可放缩以求10和,从而得,可证得不等式．

又由,于是 故.

【小试牛刀】已知数列{an}前n项和为Sn,满足Sn=2an-2n(n∈N*)． （I）证明：{an+2}是等比数列,并求{an}的通项公式；

1（Ⅱ）数列{bn}满足bn=log2(an+2),Tn为数列{}的前n项和,若Tn?a对正整数a都成立,求a的

bnbn?1取值范围． 【答案】(Ⅰ)

；（Ⅱ）a?1. 2