概率论与数理统计第一章习题解答 下载本文

《概率论与数量统计》第一章习题解答

1、写出下列随机试验的样本空间:

(1) 记录一个班 一次数学考试的平均分数(设以百分制记分)。 (2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数。 (3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的产品记上“正品”,不合格的记上“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果。

(4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标。 解:

(1) 设该班有n人,则该班总成绩的可能值是0,1,2,……,100n。 故随机试验的样本空间S={i/n|i=0,1,2,……,100n}。 (2)随机试验的样本空间S={10,11,12,……}。

(3)以0表示检查到一个次品,1表示检查到一个正品,则随机试验的样本空间S={00,0100,0101,0110,0111,100,1010,1011,1100,1101,1110,1111}。

(4)随机试验的样本空间S={(x,y)|x2+y2<1}。

2、设A,B,C为三个事件,用A,B,C的运算关系表示下列各事件: (1)A发生,B 与C都不发生。 (2)A与B都发生,而C不发生。 (3)A,B,C中至少有一个发生。 (4)A,B,C都发生。 (5)A,B,C都不发生。

(6)A,B,C中不多于一个发生。

(7)A,B,C中不多于两个发生。 (8)A,B,C中至少有两个发生。 解:

(1)ABC (2)ABC (3)A∪B∪C (4)ABC (5)ABC (6)ABC∪ABC∪ABC∪ABC (7)S-ABC (8)ABC∪ABC∪ABC∪ABC

3、(1)设A,B,C为三个事件,且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,求A,B,C至少有一个发生的概率。 (2)已知P(A)=1/2,P(B)=1/3,P(C)=1/5,P(AB)=1/10,P(AC)=1/15,P(BC)=1/20,P(ABC)=1/30,求A∪B,AB,A∪B∪C,

ABC,ABC,AB∪C的概率。

(3)已知P(A)=1/2,(i)若A,B互不相容,求 P(AB),(ii)若P(AB)=1/8,求P(AB)。 解:

(1)因为P(AB)=0,所以P(ABC)=0。故P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3/4-1/8=5/8。 (2)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=1/2+1/3-1/10=11/15,

P(AB)=1-P(A∪B)= 4/15, P

A∪B∪C

=P

A

+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=1/2+1/3+1/5-1/10-1/15-1/20+1/30=51/60,

P(ABC)=1- P(A∪B∪C)=3/20, P(ABC)=P(AB)- P(ABC)=7/60,

P(AB∪C)=P(AB)+ P(C)- P(ABC)=4/15+1/5-7/60=7/20。 (3)(i)因为A,B互不相容,所以AB=Φ,P(AB)=0。故 P(AB)

=P(A)-P(AB)=1/2。(ii)P(AB)= P(A)-P(AB)=1/2-1/8=3/8。 4、设A,B为两个事件。 (1)已知AB=AB,验证A=B。

(2)验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为P(A)+P(B)-2P(AB)。 证明:

(1)A=A(B∪B)=AB∪AB=AB∪AB=(A∪A)B=B。

(2)因为ABAB =Φ,所以P(AB∪AB)= P(AB)+ P(AB)- P(ABAB)= P(AB)+ P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-2P(AB)。

5、10 片药片中有5 片是安慰剂。

(1)从中任意抽取5片,求其中至少有2片是安慰剂的概率。 (2)从中每次取一片,作不放回抽样,求前3次都取到安慰剂的概率。 解:

515C54/C10(1)p=1-C55/C10-C5。 3(2)p=A53/A10。

6、在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任选3人记录其纪念章的号码。 (1)求最小号码为5的概率。 (2)求最大号码为5的概率。 解:

3(1)从10人中任选3人的选法有C10种。要求最小号码为5,即有一个

人的号码是5,其他两人的号码都在6到10之间。故共有C52种不同的

3选法。故最小号码为5的概率p=C52/C10。

3(2)同理最大号码为5的概率p=C42/C10。