《概率论与数量统计》第一章习题解答

1、写出下列随机试验的样本空间：

（1） 记录一个班 一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的产品记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果。

（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。 解：

（1） 设该班有n人，则该班总成绩的可能值是0，1，2，……，100n。 故随机试验的样本空间S=｛i/n|i=0,1,2,……,100n｝。 （2）随机试验的样本空间S=｛10,11,12,……｝。

（3）以0表示检查到一个次品，1表示检查到一个正品，则随机试验的样本空间S=｛00，0100，0101，0110，0111，100，1010，1011，1100，1101，1110，1111｝。

（4）随机试验的样本空间S=｛（x,y）|x2+y2<1｝。

2、设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件： （1）A发生，B 与C都不发生。 （2）A与B都发生，而C不发生。 （3）A，B，C中至少有一个发生。 （4）A，B，C都发生。 （5）A，B，C都不发生。

（6）A，B，C中不多于一个发生。

（7）A，B，C中不多于两个发生。 （8）A，B，C中至少有两个发生。 解：

（1）ABC （2）ABC （3）A∪B∪C （4）ABC （5）ABC （6）ABC∪ABC∪ABC∪ABC （7）S-ABC （8）ABC∪ABC∪ABC∪ABC

3、（1）设A，B，C为三个事件，且P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/8，求A，B，C至少有一个发生的概率。 （2）已知P（A）=1/2，P（B）=1/3，P（C）=1/5，P（AB）=1/10，P（AC）=1/15，P（BC）=1/20，P（ABC）=1/30，求A∪B，AB，A∪B∪C，

ABC，ABC，AB∪C的概率。

（3）已知P（A）=1/2，（i）若A，B互不相容，求 P（AB），（ii）若P（AB）=1/8，求P（AB）。 解：

（1）因为P（AB）=0，所以P（ABC）=0。故P（A∪B∪C）=P（A）+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3/4-1/8=5/8。 （2）P（A∪B）=P(A)+P(B)-P(AB)=1/2+1/3-1/10=11/15,

P（AB）=1-P（A∪B）= 4/15, P

（

A∪B∪C

）

=P

（

A

）

+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=1/2+1/3+1/5-1/10-1/15-1/20+1/30=51/60，

P(ABC)=1- P（A∪B∪C）=3/20, P(ABC)=P（AB）- P(ABC)=7/60，

P(AB∪C)=P（AB）+ P(C)- P(ABC)=4/15+1/5-7/60=7/20。 （3）（i）因为A，B互不相容，所以AB=Φ，P（AB）=0。故 P（AB）

=P（A）-P（AB）=1/2。（ii）P（AB）= P（A）-P（AB）=1/2-1/8=3/8。 4、设A，B为两个事件。 （1）已知AB=AB，验证A=B。

（2）验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为P（A）+P（B）-2P（AB）。 证明：

（1）A=A（B∪B）=AB∪AB=AB∪AB=（A∪A）B=B。

（2）因为ABAB =Φ，所以P（AB∪AB）= P（AB）+ P（AB）- P（ABAB）= P（AB）+ P（AB）=P（A）-P（AB）+P（B）-P（AB）=P（A）+P（B）-2P（AB）。

5、10 片药片中有5 片是安慰剂。

（1）从中任意抽取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率。 （2）从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率。 解：

515C54/C10（1）p=1-C55/C10-C5。 3（2）p=A53/A10。

6、在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码。 （1）求最小号码为5的概率。 （2）求最大号码为5的概率。 解：

3（1）从10人中任选3人的选法有C10种。要求最小号码为5，即有一个

人的号码是5，其他两人的号码都在6到10之间。故共有C52种不同的

3选法。故最小号码为5的概率p=C52/C10。

3（2）同理最大号码为5的概率p=C42/C10。