第一章 极限与连续

一、极限的定义 二、极限的计算

（一）求极限主要根据： 1、结合附录1的函数图象观察并记住以下常见的极限：（主要用来判断极限类型）

x???limxa??(a?0) limxa?0a(?x??? 0 )（x???时，只要该函数有意义，类

似）

x???limax???(a?1) limax?0(?0a?x??? 1limax?0(a?1)

x???x???limax???(?0a?x?0 1x??? lxn???limlnx??? lim?

x???222、利用连续函数性质：（x趋近有定义的点时） 初等函数在其定义域上都连续。

limf(x)?f(x0)x???limarctanx?? limarcxta?n??x??例：limx?01?cosx1?cos01?1???2

sinx?exsin0?e00?13、利用两个重要极限

（1）两个重要极限的基本形式： 第一个重要极限： 第二个重要极限： （2）应用：

sin5xsin4x（1）lim?____（2）lim?2，则k?_____

x?0tan2xx?0kx?4?（3）lim?1???e?2，则k?_____

x???x?2??（4）lim?1??x???3x?2x?3kx?_____（5）lim?1?2x?x?013x?_______

4、利用无穷大量，无穷小量的性质及其关系 无穷小量的性质：（1） （2） （3） 推论 无穷大量的性质： 关系：

有此可知以下极限类型的结果：0代表无穷小量 ，C代表非0常数。

C1C10? 1、=0 2、=0 3、=∞ 4、=0 5、=∞

0?0?C20第 1 页 共 8 页

6、

?=∞ 7、C1???? 8、C1???? 9、????? C2但以下形式还不能确定（未定型），需要转化成其他形式求解：

0?1、型 2、型3、o?型 4、???型（部分可知）5、(?1)?型

0? 6、(0)0型 7、(?)0型

5、其他需要注意的地方： （1）性质（3）的应用：

sinx1如 （1）lim? 0 （2）limxsin? 0

x??x?0xx（2）利用无穷小量的定义判断无穷小量 如：1、以下变量哪些是无穷小量？

12x?11（1）2sinx（x???） （2）2（x??） （3）1?（x?0）

xx?3xx1?0.01xx?1cosx（4）（ x???） （5）ln（ x???） （6）3（ x?? ）

xxx（7）e?x（ x??? ） （8）（7）e?x（ x??? ） （9）lnx（ x?0? ） （3）对于f（x）、g（x）都是多项式的分式求极限时，解法见教材P9总结的

522x?3x?8x2x?3x?6? lim“规律”。如lim2=

x??5?x2?3x5x??5x?2x?12以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则！

6、未定型变化方法：

?x2?x?2?约分。 如limx?1x2?2x?1?sin3x0? （1）型?第一个重要极限。如lim

x?02x0??ex?e?x?2?罗比达法则。 如limx?0x2??3x2?2分子、分母同除以一个恰当的无穷大量。 如lim2x??x?2x?1??? （2）型? x?x??e?e?2罗比达法则。 如limx?0?x2?第 2 页 共 8 页

???变成型 (即型）?1???0（3）o?型 ?

?变成0型 (即0型）1?0???（4）???型（部分可知）?变成一个分式 （5）(?1)?型 ?第二个重要极限。 如 lim(1?2x) ， lim(x?0x??13x1?2x2x?1) x?1（6）(0)0型 （7）(?)0型 （6、7不要求） 如1、lime?e 2、limx?0x?0ln(1?x)x?xex?1sin3xsin2x 3、lim 4、lim

x?01?cosxx?0x?4?23?x?921?11?ex?exx 5、lim 6、lim?? 7、limxe(?2?x?1(x?1)x???x?0xln(x?1)?? 1)三、连续：

续。 x?x0lim?f(x)?lim?f(x)?f(x0)?limf(x)?f(x0)?函数f(x)在x?x0连x?x0x?x0?cosx?ex,x?0?如：设函数f(x)??sinkx 当k? 时，f(x)在x?0点处

,x?0?x?连续

第二章 导数和微分 一、导数定义：如

（1）若f??x0??3，则limf?x0??f?x0?2?x??

?x?05?x（2）若limh?0f(1?3h)?f(1)??3，则f?(1)?______；

h

二、导数的几何意义

4如 曲线y?在点（4，2）处的切线方程是

x三、根据导数定义验证函数可导性的问题： 如：y?|x|在x?0处是否可导

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