1dy(1.2)y?(x?),5dx

把它代入第二个方程，就得到关于

d2x?9x?0.2dt

x的二阶方程式

不难求出它的一个基本解组为

x1?cos3t,x2?sin3t,

把x1和x2分别代入(1.2)式，得出y的两个相应的解为

11y1?(cos3t?3sin3t),y2?(sin3t?3cos3t).55 由此得到原来微分方程组的通解为

5cos3t5sin3t?x??????c?c??1??2??,?y??cos3t?3sin3t??sin3t?3cos3t? 其中

c1和c2为任意常数

二阶非齐次线性微分方程

待定系数法

d2xdxL?x??2?a1?a2x?f?t?,(2)常用于解决常系数非齐次线性微分方程dtdt

这里a1,a2是常数，f?t?为连续函数类型一

设f?t??(b0tm?b1tm?1?Lbm?1t?bm)e?t,其中?及bi(i?0,1,Lm)为实常数，那么方程?1?有形如 x?tk(B0tm?B1tm?1?LBm?1t?Bm)e?t:

k?当?不是 的特解，其中为特征方程F???=0的根的重数(单根相当于k?1；

可以通过比较系数来确定.特征根时，取k?0),而B0,B1,LBm是待定常数，

类型二

at设f?t???Atcos?t?Btsin?te???????其中?,?是常数,而A?t?,B?t?是带实系数的t的多项式，其中一个的次数为m,而另一个的次数不超过m,那么我们有如下结论：方程?2?有形如

atx?tk??P?t?cos?t?Q?t?sin?t??e :ka?i?的重数，而P?t?,Q?t? 的特解，其中为特征方程F???=0的根均为待定

的带实系数的次数不高于

m的t的多项式，可以通过比较系数来确定.

d2xdx求方程2?2?3x?3t?1dtdt的通解

解 先求对应的齐次线性微分方程

d2xdx?2?3x?0dt2dt

的通解.这里特征方程

?2?2??3?0有两个根?1?3,?2??1.

3t?tx?ce?ce12因此，通解为，其中c1,c2为任意常数.再求非齐次线性微分方程的

一个特解.这里f?t??3t?1,??0,又因为??0不是特征根，故可取特解形如

::x?A?Bt,其中A,B待定常数.为了确定A,B,将x?A?Bt代入原方程，得到

?2B?3A?3Bt?3t?1，

比较系数得

?3B?3,?2B?3A?1,

:11x??t,B??1,A?,33从而因此，原方程的通解为 由此得

1x?c1e3t?c2e?t?t?.3

:d2xdx?4x?cos2t求方程的2?4dtdt 通解.

解 特征方程

?2?4??4?0有重根?1??2??2，因此，对应的齐次线性微分方程的

通解为

x?(c1?c2t)e?2t,

其中c1,c2为任意常数.现求非齐次线性微分方程的一个特解.因为

:?2i不是特征

根，我们求形如x?Acos2t?Bsin2t的特解，将它代入原方程并化简得到

8Bcos2t?8Asin2t?cos2t,

:11A?0,B?,x?sin2t,比较同类项系数得8从而8因此原方程的通解为

1x?(c1?c2t)e?2t?sin2t.8 方法二

由方法一知对应的齐次线性的通解为

x?(c1?c2t)e?2t.为求非齐次线性微分方程的一个特解，我们先求方程

d2xdx2it?4?4x?e2i不是特征根，故可设特解为2dtdt的特解.这是属于类型一，而

:i2iti11x??e??cos2t?sin2t,Rex?sin2t,8888分出它的实部于是原方程的通解为 :??1x?(c1?c2t)e?2t?sin2t8

注：对于

?d2xdx?a?a2x?f?t? (3)1?d2xdx?dt2dt?a1?a2x?f?t??g(t),可分解为?2,并且f?t?,2dtdt?dx?adx?ax?g?t? (4)12?dt?dt2g?t?均满足类型一或者类型二.若(3),(4)的特解分别为x1,x2,则原方程的特解为x?x1?x2.d2x1dx1?a?a2x1?f?t?1dt2dt:2:::::::::

d2x2dx2?a?a2x2?g(t)1dt2dt这是因为

2::，，

::d(x1?x2)d(x1?x2)dxdx?a1?a2x??a1?a2(x1?x2)dt2dtdt2dt:dx1dx1dx2dx2 =（2?a1?a2x1）（+?a1?a2x2）2dtdtdtdt =f?t??g(t),:2::2::

'''t2t求x?4x?4x?e?e?1的通解.

对应的齐次方程的特征方程为

?2?4??4?0,

即得特征根为?1??2?2.

(1)对应方程x?4x?4x?e，设其特解为x?Aget,代入方程则的

'''t:A?1,

tx?4x?4x?ex?e. 的一个特解为即方程

'''t:(2)对应方程x?4x?4x?e，设其特解为x?Bt2e2t,代入方程则的

'''2t:1B?,2

'''2t122tx?4x?4x?ex?te.有一个特解为即方程2

:(3)对应方程x?4x?4x?1，设其特解为x?C,代入方程则的

''':1C?,4

'''2t1x?.x?4x?4x?e有一个特解为即方程4

所以原方程的通解为

11x?e2t(c1?c2t)?et?t2e2t?,24

c1,c2是任意常数. 这里

升阶的方法

升阶是常微分方程很少提到的一种方法，这是因为随着阶数的升高，一般会使得求解更为繁琐，但适当运用这种方法，在有些情况下也可以受到事半功倍的效果.升阶法往往用于求常系数非齐次线性微分方程，具体分析见参考文献【9】

:''' 例 用升阶法求方程x?2x?3x??3t?1的一个特解

解 两边同时逐次求导，直到右边为常数，得

x'''?2x''?3x'??3,

''''''x??1x?x?0代回原方程，得?2?3x??3t?1，解之，有x?t?1，该，则令

表达式几位方程的一个特解.

'''t 例 用升阶法求方程x?2x?5x?esin2t的一个特解 '''(1?2i)ty?2y?5y?e解 先求解方程， (1?2i)t'''y?u(t)eu?4iu?1， 令，代入方程，得

'取u?111??iu??it4，则 4i4，进一步取

11y??ite(1?2i)t??itet(cos2t?isin2t)4411 ?tetsin2t?itetcos2t,44