其虚部函数为原方程的一个特解，即可求得原方程的一个特解为
1x??tetcos2t.4
常数变易法
a1(t),a2(t),Lan(t),f(t)x1(t),x2(t),Lxn(t)a?t?b上的连续函数，是区间
定理 如果
是区间a?t?b上齐次线性微分方程
x???a1(t)x?nn?1??L?an(t)x?0 ?L?an(t)x?f(t)
的基本解组，那么，非齐次线性微分方程
x???a1(t)x?nn?1?的满足初值条件
?(t0)?0,?'(t0)?0,L?(n?1)(t0)?0,t0?[a,b]的解有下面公式给出
t
?(t)??xk(t)??k?1n?Wk[x1(s),x2(s),L,xn(s)]??f(s)ds,W[x1(s),x2(s),L,xn(s)]?t0?
的朗斯基行列式，
W[x1(s),x2(s),L,xn(s)]这里
Wk[x1(s),x2(s),L,xn(s)]是
x1(s),x2(s),L,xn(s)是在
W[x1(s),x2(s),L,xn(s)]k列代以(0,0,L,0,1)T中的第
后得到的行列式，而且非齐次方程的任一解u(t)都具有形式
u(t)?c1x1(t)?c2x2(t)?L?cnxn(t)??(t),
这里
c1,c2,L,cn是适当选取的常数.
x''?a1(t)x'?L?an(t)x?0n?2时特别地，当的特解为
t?W1[x1(s),x2(s)]??W2[x1(s),x2(s)]??(t)?x1(t)??f(s)ds?x(t)???f(s)ds.2?W[x(s),x(s)]W[x(s),x(s)]12?12?t0?t0?
t其中
0x2(s)W1[x1(s),x2(s)]???x2(s),1x2'(s)x1(s)0?x1(s),'x1(s)1
W2[x1(s),x2(s)]?
当n?2时，常数变易公式变为 因此，
t?(t)??t0x2(t)x1(s)?x1(t)x2(s)f(s)ds.W[x1(s),x2(s)]
而通解就是
x?c1x1(t)?c2x2(t)??(t).
nn?1? 法二 设下
nx1(t),x2(t),L,xn(t)???x?a(t)x1是方程
?L?an(t)x?0的基本解组，当满足以
是
方
程
条件
n?1?时，
x?c1(t)x1(t)?c2(t)x2(t)?L?cn(t)xn(t)x???a1(t)x??L?an(t)x?f(t)的通解
?x1(t)c1'(t)?x2(t)c2'(t)?L?xn(t)cn'(t)?0?''''''x(t)c(t)?x(t)c(t)?L?x(t)c?1122nn(t)?0?(n?2)(t)c1'(t)?x2(n?2)(t)c2'(t)?L?xn(n?2)(t)cn'(t)?0?x1?M?(n?1)'(n?1)'(n?1)'??x1(t)c1(t)?x2(t)c2(t)?L?xn(t)cn(t)?f(t)
?x1(t)c1'(t)?x2(t)c2'(t)?0特别地，当n?2，满足条件?''''?x1(t)c1(t)?x2(t)c2(t)?f(t)的
c1(t),c2(t)，则
x?c1(t)x1(t)?c2(t)x2(t)为二阶非齐 次线性微分方程
x''?a1(t)x'?a2(t)x?f(t)的通解
例 试求方程
x''?x?tant的一个解
''解 易知对应的齐次线性微分方程x?x?0的基本解组为
tx1(t)?cos t,x2(t)?sin t.我们直接利用公式?(t)??t0x2(t)x1(s)?x1(t)x2(s)f(s)ds.W[x1(s),x2(s)]来求方程的一个的一个解。这时
W[x1(t),x2(t)]?t0?0costsint?sintcost?1
取
t?(t)??(sin t?cos s?cos t?sin s)tan s ds0tt =sin t?sin s ds?cos t?sin s tans ds00 =sin t(1-cos t)+cos t(sin t-lnsect?tant) =sin t-cos t lnsect?tant
注意，因为sint是对应的齐次线性微分方程的一个解，所以函数
???cos t lnsec t?tan t:也是原方程的一个解。
218页13题 165页6题
参考文献
1王高雄 周之铭 朱思铭 王寿松编 高等教育出版社 常微分方程第三版 2丁同仁，李承志.常微分方程教程 .北京： 高等教育出版社 3都长清 焦宝聪 焦炳照编著 北京师范大学出版社
4 孙清华 李金兰 孙昊 华中科技大学出版社 常微分方程内容、方法与技巧 5.孙肖丽 杨艳平著，山东大学出版社 116-119页常微分方程的思想与方法 6. 李青、徐崇志、胡汉涛，用升阶法求常系数非齐次线性微分方程的特解，塔里木农垦大学学报，Vol.15,No.1,2003,24-25