有限元分析基础 （13分+25分）
一、弹性力学的基本方程与求解 1. 平衡微分方程
平衡微分方程描述了弹性体内部任意一点的平衡，确定了应力分量与体力之间的关系。 静力边界条件表示物体边界部分的平衡。
(这里所指的平衡仅仅是静力学上可能的平衡，要是物体真正平衡，还要考虑物体变形的连续条件。) 2. 几何方程
给出了6个应变分量与3个位移分量之间的关系。 3. 物理方程
应力和应变的关系。 4. 弹性力学问题的求解
5. 平面问题的平衡微分方程与应力边界条件 6. 平面问题的几何方程 7. 平面应力问题的物理方程 8. 平面应变问题的物理方程 9. 轴对称问题
二、变分原理与里兹法 1. 位移变分方程
? 虚位移原理应用于连续弹性体?拉格朗日变分方程，虚应变能=外力虚功
质点或质点系在给定瞬时,为约束所容许的任何微小的位移,称为质点或质点系的虚位移。记为?r。 虚位移只是一个几何概念,它完全由约束的性质及其限制的条件所决定。它只是约束所容许的可能发生而实际不一定发生的位移,它与作用力无关,与时间无关。它可以有多种不同的方向,它必须是微小量。
实位移是质点或质点系在力的作用下,在一定时间间隔内实际发生的位移.它有确定的方向,它可以是微小量,也可以是有限量。在定常约束条件下, 微小的实位移是虚位移之一，可以用求实位移的方法来建立质点虚位移之间的关系。
虚位移原理：如弹性系统在外力作用下处于平衡状态，则当系统发生满足变形连续条件和给定的几何约束条件的、任意的、微小的虚位移时，系统中所有的外力和内力所做的虚功总和为零。
矢量形式：?Fi??ri?0 虚位移原理 直角坐标形式： ?(Xi?xi?Yi?yi?Zi?zi)?0 广义坐标形式： ?Qj?qj?0 ? 虚功方程，将拉格朗日变分方程左边的变形势能(虚应变能)变分 ? 极小势能原理：满足位移边界条件的所有可能位移中，实际发生的位移使弹性体的势能取极值。 ? 以上三项是完全等价的，任一项都可以导出也可以代替平衡微分方程与应力边界条件 2. 虚功方程的矩阵表达形式
3. 里兹法
? 近似位移求解：设定已满足位移边界条件，同时含有若干待定参数的位移分量表达式(位移试函
数)，代入弹性体的总是能表达式后，通过对总势能求极小值(势能极小原理)来满足平衡微分方程和应力边界条件，其近似性在于位移试函数是假定的。
? 变分解法：将弹性力学的微分方程边值问题转化成对能量泛函求极值的问题，数学上称之为弹性
力学问题的变分解法。
? 里兹法：经典变分解法之一，它使用拉格朗日变分方程。
只有当边界比较规则、边界条件比较简单时才能实现。实际工程问题往往不具备这样的条件，找不到合适的位移试函数，从而难以用里兹法求解。 ? 里兹法?有限元法
如果将结构离散为一组有限个彼此通过结点连接的单元集合体，则只须针对小块的单元设定位移试函数，且对位移边界条件的满足只须针对位移边界上的结点位移作相应处理，可以留待整体分析中进行．在单元中设定位移试函数不必考虑边界条件，则位移试函数的选取变得简单许多，可以处理很复杂的连续介质问题，这就是有限单元法分片插值的思想．后续章节就遵循这种思想，针对单元给出位移模式(位移试函数)，用虚功方程(等同于极小势能原理)替代平衡微分方程与应力边界条件，推导单元刚度方程与组集整体刚度方程，最后引进位移边界条件求解。
三、平面问题有限元法
1. 简单三角形单元的位移模式
? 位移模式与形函数
? 位移模式收敛性质的分析
完备单元：必须包含单元的常应变状态，必须包含单元的刚体位移 协调单元：保证位移的连续性－不开裂、不重叠 三者构成收敛性的充要条件
2. 应变矩阵、应力矩阵与单元刚度矩阵
? 用单元结点位移表示单元应变，应变矩阵[B]=[Bi Bj Bm], {?}=[B]{?}e, 3×6
? 用单元结点位移表示单元应力，应力矩阵[S]=[D][B], {?}=[S]{?}e, 3×6 ? 用单元结点位移表示单元结点力，单元刚度矩阵[K]e, {F}e =[K]e{?}e, 6×6
? [K]e性质：物理意义－单元抵抗变形的能力、对称性、位置无关方向相关、奇异性 3. 等效节点荷载 {R}e 4. 整体分析
? 总体刚度方程 [K]{?}={R}
? [K]性质：稀疏性、带状性、对称性、奇异性 5. 位移边界条件的处理
? 已知位移为零：对角元素改1法 ? 支座移动问题：乘大数法 ? 手算：降阶法
四、计算步骤与例题
1. 划分单元并准备原始数据
? 整体结点编号 1,2,3,4 ? 局部结点编号 i,j,m
? 结点坐标 x1, x2, x3, x4,y1, y2, y3, y4 2. 计算单元刚度矩阵
? 各单元的bi, ci ? [K]1, [K]2
3. 集成整体刚度矩阵[K]
4. 处理荷载{R}，生成整体刚度方程[K]{?}={R} 5. 引进位移边界条件求节点位移
6. 应力分析：{?}1=[S]1{?}1, {?}2=[S]2{?}2 7. 应力计算成果的整理
? 绕结点平均法 ? 两单元平均法
? 在计算之前精心划分网格，在计算之后精心整理成果，这样来提高所得应力的精度，往往比简单
加密网格更为有效
8、 高阶单元：六结点三角形单元 9、 矩形单元
五、减少解题规模的措施 1、 周期性条件
在分析中，值得利用反对称或周期性域的变化以限制模型规模。可通过耦合未知的节点值或写约束方程来实现。周期性条件是指边界既不保持与流动方向平行也不垂直，而是在一点处的势与另一位置处的一点大小相等但符号相反。 2、 结构形状对称
当结构形状对称时，其网格也应划分对称网格，以使模型表现出相应的对称特性。
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划分网格是建立有限元模型的一个重要环节，它要求考虑的问题较多，需要的工作量较大，所划分的网格形式对计算精度和计算规模将产生直接影响。为建立正确、合理的有限元模型，这里介绍划分网格时应考虑的一些基本原则。 1、 网格数量
网格数量的多少将影响计算结果的精度和计算规模的大小。一般来讲，网格数量增加，计算精度会有所提高，但同时计算规模也会增加，所以在确定网格数量时应权衡两个因数综合考虑。
在决定网格数量时应考虑分析数据的类型。在静力分析时，如果仅仅是计算结构的变形，网格数量可以少一些。如果需要计算应力，则在精度要求相同的情况下应取相对较多的网格。同样在响应计算中，计算应力响应所取的网格数应比计算位移响应多。在计算结构固有动力特性时，若仅仅是计算少数低阶模态，可以选择较少的网格，如果计算的模态阶次较高，则应选择较多的网格。在热分析中，结构内部的温度梯度不大，不需要大量的内部单元，这时可划分较少的网格。 2、 网格疏密
网格疏密是指在结构不同部位采用大小不同的网格，这是为了适应计算数据的分布特点。在计算数据变化梯度较大的部位(如应力集中处)，为了较好地反映数据变化规律，需要采用比较密集的网格。而在计算数据变化梯度较小的部位，为减小模型规模，则应划分相对稀疏的网格。这样，整个结构便表现出疏密不同的网格划分形式。
划分疏密不同的网格主要用于应力分析(包括静应力和动应力)，而计算固有特性时则趋于采用较均匀的钢格形式。这是因为固有频率和振型主要取决于结构质量分布和刚度分布，不存在类似应力集中的现象，采用均匀网格可使结构刚度矩阵和质量矩阵的元素不致相差太大，可减小数值计算误差。同样，在结构温度场计算中也趋于采用均匀网格。 3、 单元阶次
许多单元都具有线性、二次和三次等形式，其中二次和三次形式的单元称为高阶单元。选用高阶单元可提高计算精度，因为高阶单元的曲线或曲面边界能够更好地逼近结构的曲线和曲面边界，且高次插值函数可更高精度地逼近复杂场函数，所以当结构形状不规则、应力分布或变形很复杂时可以选用高阶单元。但高阶单元的节点数较多，在网格数量相同的情况下由高阶单元组成的模型规模要大得多，因此在使用时应权衡考虑计算精度和时间。