2013-2014(2)大学数学(B)练习题

第六章

一、选择题

1.微分方程y??2xy的通解为（） A.y?ex?C； B.y?Cex； C.y?eCx；D.y?Cex.

2.函数y?c1e2x?c2是微分方程y???y??2y?0的（） A.通解；B.特解；

C.不是解；D.是解,但既不是通解,也不是特解.

3.设线性无关的函数y1,y2,y3都是二阶非齐次线性微分方程y???p(x)y??q(x)y?f(x)的解，

222C1,C2是任意常数，则该方程的通解是（）

A.C1y1?C2y2?y3；B.C1y1?C2y2?(C1?C2)y3；

C.C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3；D.C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3. 4.微分方程xy??y?x2?y2是（）

A.可分离变量的微分方程；B.齐次微分方程；

C.一阶线性齐次微分方程；D.一阶线性非齐次微分方程.

二、填空题

1.微分方程xy??ylny的通解是.

2.方程y??y2sinx的奇解为_______________. 3.微分方程3x?5x?5y??0的通解是.

2d2sds?25s?0的通解为. 4.微分方程42?20dtdt

三、解答题

1.求微分方程

dy?2xy的通解. dx2.求下列一阶微分方程满足所给初始条件的特解． （1）

5dyysinx??，y(?)?1；（2）y??2y?ex?x，y(0)?．

4dxxx3.解方程：y????e2x?cosx.

dy?3y?8满足初始条件ydx5.求微分方程y???4y?e2x的通解.

4.求方程

2xx?0?2的特解.

6.求微分方程y???5y??6y?xe的通解. 7.设函数y?(1?x)2u(x)是方程y??8.求下列贝努利方程的通解．

2y?(x?1)3的通解，求u(x).x?1 y?y2?0. 1?x（1）2x2y'?xy?x4y3?0；（2）y??229.求齐次方程(y?2xy)dx?(x?2xy)dy的通解．

10.求解下列初值问题：y???(y?)?1，y(0)?0，y?(0)?0． 11.求微分方程xy''?xy'?1通解． 12.求下列方程的通解．

（1）y???4y??5y?0；（2）y???4y??5?0；

22x（3）y???4y??4y?xe；（4）y???y??2y?8sin2x．

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2013-2014(2)大学数学(B)练习题

第六章参考答案

一、选择题

1.B；2.D；3.D；4.B； 二、填空题

t13121.y?e；2.y?0；3.y?x?x?C；4.s?(C1?C2t)e2.

52Cx5三、解答题

1.解原方程为分离变量的微分方程，

分离变量可得

dy?2xdx， y两边积分：

dy2，得?2xdxlny?x?C1，其中C1为任意常数， ?y?2整理有：y?Cex，其中C为任意常数. 2.解：（1）该方程的通解为y?e?lnx[=y?e??xdx1sinx?xdx[?edx?C]

x1sinxlnx11edx?C](sinxdx?C)(?cosx?C)， ==?xx?x又y(?)?1，得C???1，故满足条件y(?)?1的特解为

1(?cosx???1). x?2dx2dx11x?Ce2x?ex?x?， （2）y?[C??(e?x)e?dx]e?245112xx将y(0)?代人，得C?2，故所求特解为y?2e?e?x?．

42412x12x3.解：对所给方程接连积分三次得，y???e?sinx?C1，y??e?cosx?Cx?C2，

241Cy?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3 (C1?).

82y?4.解：原方程可变形为

dydy?8?3y，分离变量可得?dx， dx8?3y8， 3?3x?两边积分：ln3y?8??3x?C1，其中C1为任意常数，所以y?Ce代入初始条件yx?0?2有：C??22?3x8，则满足条件的特解为y??e?. 3335.解：原方程所对应的齐次方程为y???4y?0，其特征方程为?2?4?0，

?2x解得特征根为???2，所以方程y???4y?0的通解为??C1e?C2e2x. 2x2x又f(x)?e，由于??2是特征单根，于是可设原方程的特解为y*?axe.