数学人教版高中三年级必修3 《2.3_数学归纳法》教师版 下载本文

否定词及数学归纳法教学

否定词:1.反证法是(

[答案] A

[解析] 反证法是先否定结论,在此基础上,运用演绎推理,导出矛盾,从而肯定原结论的真实性.

2.否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是( ) A.有一个解B.有两个解C.至少有三个解D.至少有两个解 [答案] C

3.“自然数a、b、c中恰有一个偶数”的否定为( ) A.自然数a、b、c都是奇数B.自然数a、b、c都是偶数 C.自然数a、b、c中至少有两个偶数

D.自然数a、b、c都是奇数或至少有两个偶数 [答案] D

[解析] 恰有一个偶数的否定有两种情况,其一是无偶数,其二是至少有两个偶数.

)

A.从结论的反面出发,推出矛盾的证法B.对其否命题的证明

2.3 数学归纳法

考点一:数学归纳法的基本原理及用数学归纳法证明恒等式 111n

1.证明:++…+=.(n∈N*)

1×33×5(2n-1)(2n+1)2n+1

1111[证明] (1)当n=1时,左边==,右边==,左边=右边,所

1×332×1+13以等式成立.

(2)假设n=k(k≥1)时等式成立,即有 111k

++…+=, 1×33×5(2k-1)(2k+1)2k+1则当n=k+1时,

1111

++…++ 1×33×5(2k-1)(2k+1)(2k+1)(2k+3)=

k(2k+3)+1k1

+= 2k+1(2k+1)(2k+3)(2k+1)(2k+3)

2k2+3k+1k+1k+1===. (2k+1)(2k+3)2k+32(k+1)+1

所以当n=k+1时,等式也成立.

由(1)、(2)可知,对一切n∈N*等式都成立.

类型二 归纳——猜想——证明 例2:已知数列

111,,,1?44?77?10,1?3n?2??3n?1?, Sn为该数列的前n项和,

计算S1,S2,S3,S4,根据计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明. 解:S1?11182?, S2?S1??? 1?444?7287S3?S2?1213131404??, S4?S3????? 7?10701010?131010?1313013n. 3n?1111,右边??,猜想成立, 43?1?14根据上述结果,猜想Sn?证明:(1)当n?1时,左边?S1?(2)假设当n?k k?N*时猜想成立,即

??Sk?111???1?44?77?10?1?3k?2??3k?1?1?k, 3k?1那么,当n?k?1时,

Sk?1?111???1?44?77?10??3k?2??3k?1??1

??3?k?1??2????3?k?1??1??k?3k?4??1k13k2?4k?1?? ??3k?1?3k?1??3k?4??3k?1??3k?4??3k?1??3k?4???k?1??3k?1??k?1?k?1, ?3k?1??3k?4??3k?4?3?k?1??1n 3n?1 所以,n?k?1时,猜想成立,

由(1)(2)可知,对于n?N,猜想成立,即,?n?N*,Sn?考点三:数学归纳法的基本原理及用数学归纳法证明不等式

111++…+>n. 23n1证明:(1)当n=2时,左边=1+>1.7,右边=2,左边>右边. 2111(2)方法一:假设当n=k(k≥2且k∈N*)不等式成立,即1+++…+>k,则当23k当n≥2,n∈N*时,求证:1+n=k+1时,左边=1+k+1k?k+1?+1k·k+111111++…++>k+=>=23kk+1k+1k+1k+1=k+1=右式, k+1即当n=k+1时,不等式也成立.