否定词及数学归纳法教学

否定词：1．反证法是(

[答案] A

[解析] 反证法是先否定结论，在此基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定原结论的真实性．

2．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( ) A．有一个解B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解 [答案] C

3．“自然数a、b、c中恰有一个偶数”的否定为( ) A．自然数a、b、c都是奇数B．自然数a、b、c都是偶数 C．自然数a、b、c中至少有两个偶数

D．自然数a、b、c都是奇数或至少有两个偶数 [答案] D

[解析] 恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数，其二是至少有两个偶数．

)

A．从结论的反面出发，推出矛盾的证法B．对其否命题的证明

2.3 数学归纳法

考点一：数学归纳法的基本原理及用数学归纳法证明恒等式 111n

1.证明：＋＋…＋＝.(n∈N*)

1×33×5(2n－1)(2n＋1)2n＋1

1111[证明] (1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，所

1×332×1＋13以等式成立．

(2)假设n＝k(k≥1)时等式成立，即有 111k

＋＋…＋＝， 1×33×5(2k－1)(2k＋1)2k＋1则当n＝k＋1时，

1111

＋＋…＋＋ 1×33×5(2k－1)(2k＋1)(2k＋1)(2k＋3)＝

k(2k＋3)＋1k1

＋＝ 2k＋1(2k＋1)(2k＋3)(2k＋1)(2k＋3)

2k2＋3k＋1k＋1k＋1＝＝＝. (2k＋1)(2k＋3)2k＋32(k＋1)＋1

所以当n＝k＋1时，等式也成立．

由(1)、(2)可知，对一切n∈N*等式都成立．

类型二 归纳——猜想——证明 例2：已知数列

111,,,1?44?77?10,1?3n?2??3n?1?, Sn为该数列的前n项和，

计算S1,S2,S3,S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明. 解：S1?11182?， S2?S1??? 1?444?7287S3?S2?1213131404??， S4?S3????? 7?10701010?131010?1313013n. 3n?1111，右边??，猜想成立， 43?1?14根据上述结果，猜想Sn?证明：（1）当n?1时，左边?S1?（2）假设当n?k k?N*时猜想成立，即

??Sk?111???1?44?77?10?1?3k?2??3k?1?1?k， 3k?1那么，当n?k?1时，

Sk?1?111???1?44?77?10??3k?2??3k?1??1

??3?k?1??2????3?k?1??1??k?3k?4??1k13k2?4k?1?? ??3k?1?3k?1??3k?4??3k?1??3k?4??3k?1??3k?4???k?1??3k?1??k?1?k?1， ?3k?1??3k?4??3k?4?3?k?1??1n 3n?1 所以，n?k?1时，猜想成立，

由（1）（2）可知，对于n?N，猜想成立，即，?n?N*,Sn?考点三：数学归纳法的基本原理及用数学归纳法证明不等式

111＋＋…＋＞n. 23n1证明：(1)当n＝2时，左边＝1＋＞1.7，右边＝2，左边＞右边． 2111(2)方法一：假设当n＝k(k≥2且k∈N*)不等式成立，即1＋＋＋…＋＞k，则当23k当n≥2，n∈N*时，求证：1＋n＝k＋1时，左边＝1＋k＋1k?k＋1?＋1k·k＋111111＋＋…＋＋＞k＋＝＞＝23kk＋1k＋1k＋1k＋1＝k＋1＝右式， k＋1即当n＝k＋1时，不等式也成立．