2019-2020年人教B版数学选修2-3讲义：第2章+2.1+2.1.1 离散型随机变量及答案

2.1 离散型随机变量及其分布列

2.1.1 离散型随机变量

学习目标：1.理解随机变量及离散型随机变量的含义．(重点)2.了解随机变量与函数的区别与联系．(易混点)3.会用离散型随机变量描述随机现象．(难点)

教材整理 离散型随机变量

阅读教材P40练习以上部分，完成下列问题． 1．随机变量

(1)定义：在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量．

(2)表示：随机变量常用大写字母X，Y，…表示． 2．离散型随机变量

如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( )

(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．( )

(3)随机变量是用来表示不同试验结果的量．( ) (4)试验之前可以判断离散型随机变量的所有值．( )

(5)在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有6个取值．( )

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【解析】 (1)√ 因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个．

(2)√ 因为掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1.

(3)√ 因为由随机变量的定义可知，该说法正确．

(4)√ 因为随机试验所有可能的结果是明确并且不只一个，只不过在试验之前不能确定试验结果会出现哪一个，故该说法正确．

(5)√ 因为掷一枚质地均匀的骰子试验中，所有可能结果有6个，故“出现的点数”这一随机变量的取值为6个．

【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√

随机变量的概念

【例1】 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．

(1)北京国际机场候机厅中2019年5月1日的旅客数量； (2)2019年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数； (3)2019年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间； (4)体积为1 000 cm3的球的半径长． 【精彩点拨】 利用随机变量的定义判断．

【解】 (1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．

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(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．

(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量． (4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．

随机变量的辨析方法

1．随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同． 2．随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．

如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．

1．(1)下列变量中，不是随机变量的是( ) A．一射击手射击一次命中的环数 B．标准状态下，水沸腾时的温度 C．抛掷两枚骰子，所得点数之和

D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数

(2)10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( ) A．取到产品的件数 C．取到次品的件数

B．取到正品的概率 D．取到次品的概率

【解析】 (1)B项中水沸腾时的温度是一个确定值．

(2)A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B，D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．

【答案】 (1)B (2)C

离散型随机变量的判定

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【例2】 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由． (1)某座大桥一天经过的车辆数X； (2)某超市5月份每天的销售额；

(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；

(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.

【精彩点拨】

随机变量的实际背景

→

判断取值是否具有可列性

→得出结论

【解】 (1)车辆数X的取值可以一一列出，故X为离散型随机变量． (2)某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量． (3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量． (4)不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．

“三步法”判定离散型随机变量

1．依据具体情境分析变量是否为随机变量． 2．由条件求解随机变量的值域．

3．判断变量的取值能否被一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量．

2．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.

(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；

(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η是否为离散型随机变量．

【解】 (1)

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