学案26 平面向量的基本定理及坐标表示

导学目标： 1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

自主梳理

1．平面向量基本定理

定理：如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，__________一对实数λ1，λ2，使a＝______________.

我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组________． 2．夹角

→→

（1）已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的________．

(2)向量夹角θ的范围是________，a与b同向时，夹角θ＝____；a与b反向时，夹角θ＝____.

(3)如果向量a与b的夹角是________，我们说a与b垂直，记作________． 3．把一个向量分解为两个____________的向量，叫做把向量正交分解．

4．在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使a＝xi＋yj，我们把有序数对______叫做向量a的________，记作a＝________，其中x叫a在________上的坐标，y叫a在________上的坐标．

5．平面向量的坐标运算

(1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么a＋b＝________________________，a－b＝________________________，λa＝________________.

→→→

（2）已知A（x1，y1），B（x2，y2），则AB＝OB－OA＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2

－y1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的__________的坐标减去__________的坐标．

6．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) (b≠0)，则a∥b的充要条件是________________________． 7．(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1P2的中点P的坐标为________________________________．

(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，则△P1P2P3的重心P的坐标为_______________． 自我检测

1．(2010·福建)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的 ( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

3?cos α，1?，，sin α?，2．设a＝?b＝则锐角α为 ( ) 3?且a∥b，?2??

A．30° B．45° C．60° D．75°

→

3.（2011·马鞍山模拟）已知向量a=(6，-4)，b（0，2），OC＝c＝a＋λb，若C点在函

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数y＝sin

π12

x的图象上，则实数λ等于

( )

53A. B. 22

53C．－ D．－ 224．(2010·陕西)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.

→→

5.（2009·安徽）给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°.如图所

→→→

示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是______.

探究点一 平面向量基本定理的应用

→1→→1→→

例1 如图所示，在△OAB中，OC＝OA，OD＝OB，AD与BC交于点M，设OA＝

42

→→a，OB＝b，以a、b为基底表示OM.

→→→→→

变式迁移1 （2011·厦门模拟）如图，平面内有三个向量OA、OB、OC，其中OA与OB

→→→→→→→→

的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝23，若OC＝λOA＋μOB(λ、μ∈R)，则λ＋μ的值为________．

探究点二 平面向量的坐标运算

→→→→

例2 已知A（-2，4），B（3，-1），C（-3，-4），且CM＝3CA，CN＝2CB，试求点M，→

N和MN的坐标．

→→

变式迁移2 已知点A（1，-2），若向量|AB与a＝(2,3)同向，|AB|＝213，则点B的坐标为________．

探究点三 在向量平行下求参数问题 例3 (2011·嘉兴模拟)已知平面内三个向量：a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)求满足a＝mb＋nc的实数m、n；

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(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.

变式迁移3 (2009·江西)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k＝________.

1．在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便．在解有关三角形的问题时，可以不去特意选择两个基本向量，而可以用三边所在的三个向量，最后可以根据需要任意留下两个即可，这样思考问题要简单得多．

→

2.平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA＝a，点A的位置被a所唯一确定，此时a的坐标与点A的坐标都是(x，y)．向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应

一一对应→一一对应的，即向量(x，y)向量OA点A(x，y)．要把点的坐标与向量的坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的坐标是

→

终点的坐标，如A(1,2)，B(3,4)，则AB＝(2,2)．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

→→

1.已知a,b是不共线的向量，若AB＝λ1a＋b，AC＝a＋λ2b， (λ1，λ2∈R)，则A、B、C三点共线的充要条件为 ( )

A．λ1＝λ2＝－1 B．λ1＝λ2＝1 C．λ1λ2－1＝0 D．λ1λ2＋1＝0

2.如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、

→→→

Ⅳ（不包括边界）.若OP＝aOP1＋bOP2，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满足 ( )

A．a>0，b>0

C．a<0，b>0

B．a>0，b<0 D．a<0，b<0

m

m，＋sin α?，其中λ、m、3．(2011·湛江月考)设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝?2??

λ

α为实数．若a＝2b，则的取值范围是 ( )

m

A．[－6,1] B．[4,8] C．(－∞，1] D．[－1,6]

→→

4.设0≤θ≤2π时，已知两个向量OP1＝(cos θ，sin θ)，OP2＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则

→

向量P1P2长度的最大值是 ( )

A.2 B.3 C．32 D．23

→→→

5.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则BD等于( ) A．(－2，－4) B．(－3，－5) C．(3,5) D．(2,4)

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1 2 3 4 5 题号 答案 二、填空题(每小题4分，共12分) 6.（2011·烟台模拟）如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别

→→→→

交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为______．

7．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知A(－2,0)，B(6,8)，C(8，6)，则D点的坐标为________．

1→1→3→→→

8.(2009·天津)在四边形ABCD中，AB＝DC＝(1,1)，·BA＋·BC＝·BD，则四

→→→|BA||BC||BD|

边形ABCD的面积为________．

三、解答题(共38分)

→1→

9.（12分）已知A、B、C三点的坐标分别为（-1，0）、（3，-1）、（1，2），并且AE＝AC，

3

→1→→→BF＝BC.求证：EF∥AB.

3

10．(12分)(2011·宣城模拟)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知向量

B＋C

m＝(a，b)，向量n＝(cos A，cos B)，向量p＝(22sin，2sin A)，若m∥n，p2＝9，求

2

证：△ABC为等边三角形．

→

11.（14分）如图，在边长为1的正△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若AE＝→→→

mAB，AF＝nAC，m，n∈(0,1)．设EF的中点为M，BC的中点为N.

(1)若A，M，N三点共线，求证：m＝n； （2）若m+n=1,求MN的最小值．

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答案 自主梳理

π

(2)[0，π] 0 π (3) a⊥b

2

3.互相垂直 4.(x，y) 坐标 (x，y) x轴 y轴 5.(1)(x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1) (2)终点 始点

x1＋x2y1＋y2?6．x1y2－x2y1＝0 7.(1)??2，2?

x1＋x2＋x3y1＋y2＋y3?(2)?，

33??

自我检测

1．A [由x＝4知|a|＝42＋32＝5；由|a|＝x2＋32＝5，得x＝4或x＝－4.故“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．]

31

2．B [∵a∥b，∴×－sin αcos α＝0，

23

∴sin 2α＝1,2α＝90°，α＝45°.]

π

3．A [c＝a＋λb＝(6，－4＋2λ)，代入y＝sin x得，

12

π5

－4＋2λ＝sin ＝1，解得λ＝.] 22

4．－1

解析 a＋b＝(1，m－1)，由(a＋b)∥c， 得1×2－(m－1)×(－1)＝0，所以m＝－1. 5．2

解析 建立如图所示的坐标系，

1．不共线 有且只有 λ1e1＋λ2e2 基底 2.(1)夹角

则A(1,0)，B(cos 120°，sin 120°)，

13

即B(－，)．

22

→

设?AOC＝?,则OA＝ (cos α，sin α)． →→→∵OC＝xOA＋yOB

y3

＝(x,0)＋?－，y?＝(cos α，sin α)．

?22?

sin αy

x＝＋cos α，x－＝cos α，

23

∴ ∴

2sin α3

y＝，y＝sin α.

23

???

???

∴x＋y＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)． ∵0°≤α≤120°，∴30°≤α＋30°≤150°. ∴x＋y有最大值2，当α＝60°时取最大值． 课堂活动区

→

例1 解题导引 本题利用方程的思想，设OM=ma+nb，通过建立关于m、n的方程求解，同时注意体会应用向量法解决平面几何问题的方法.

→

解 设OM＝ma＋nb (m，n∈R)， →→→

则AM＝OM－OA＝(m－1)a＋nb，

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