高等数学（一）教案 期末总复习
第八章 总结
向量代数 定义与运算的几何表达 有大小、有方向. 记作a或AB 向量a的模记作a 定义 向量 模 在直角坐标系下的表示 a?axi?ayj?azk?(ax,ay,az) ax?prjxa,ay?prjya,az?prjza a?ax2?ay2?az2 c?a?b??ax?bx,ay?by,az?bz? 和差 c?a?b c?a－b 单位向量 aa?0，则ea? a设a与x,y,z轴的夹角分别为?，?，?，则方向余弦分别为cos?，cos?，cos? ea?(ax,ay,az)ax?ay?azaxa222 cos??，cos??aya，cos??aza 方向余弦 ea?(cos?，cos?，cos?) cos2?+cos2??cos2??1 点乘（数量积） a?b?abcos?， ?为向量a与b的夹角 a?b?axbx?ayby?azbz ia?b?axbxjaybykaz bzc?absin? 叉乘（向量积） ?为向量a与b的夹角 c?a?b 向量c与a，b都垂直 定理与公式 垂直 平行 a?b?a?b?0 a?b?axbx?ayby?azbz?0 a//b?cos??a//b?a?b?0 axayaz?? bxbybz2222交角余弦 a?b两向量夹角余弦cos?? ab向量a在非零向量b上的投影 axbx?ayby?azbzax?ay?az?bx?by?bz22 投影 prjba?acos(a?b)?a?b b prjba?axbx?ayby?azbzbx?by?bz222 平面 法向量n?{A,B,C} 点M0(x0,y0,z0) 方程名称 一般式 点法式 方程形式及特征 直线 方向向量T?{m,n,p} 点M0(x0,y0,z0) 方程名称 一般式 点向式 方程形式及特征 ?A1x?B1y?C1z?D1?0 ??A2x?B2y?C2z?D2?0Ax?By?Cz?D?0 A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0
x?x0y?y0z?z0 ??mnp- 2 -
高等数学（一）教案 期末总复习
x?x1三点式 y?y1y2?y1y3?y1z?z1z2?z1?0 z3?z1两点式 线线垂直 线线平行 线面平行 参数式 x2?x1x3?x1截距式 面面垂直 面面平行 线面垂直 xyz???1 abcA1A2?B1B2?C1C2?0 A1B1C1 ??A2B2C2ABC?? mnp?x?x0?mt??y?y0?nt ?z?z?pt0?x?x0y?y0z?z0 ??x1?x0y1?y0z1?z0m1m2?n1n2?p1p2?0 m1n1p??1 m2n2p2Am?Bn?Cp?0 点面距离 M0(x0,y0,z0) Ax?By?Cz?D?0 面面距离 Ax?By?Cz?D1?0 Ax?By?Cz?D2?0 d?Ax0?By0?Cz0?DA?B?C222 d?D1?D2A?B?C222 面面夹角 ??n1?{A1,B1,C1}n2?{A2,B2,C2} cos??|A1A2?B1B2?C1C2|A1?B1?C1?A2?B2?C2222222线线夹角 s1?{m1,n1,p1} s2?{m2,n2,p2} 线面夹角 s?{m,n,p} n?{A,B,C} Am?Bn?CpA2?B2?C2?m2?n2?p2 cos??m1m2?n1n2?p1p2222m12?n12?p12?m2?n2?p2 sin?? ?x??(t)，? ?y??(t)，?z??(t)，?切“线”方程：切向量 x?x0y?y0z?z0 ??????(t0)?(t0)?(t0)空间(??t??) 曲线 ?：?T?(??(t0),??(t0),??(t0)) 法平“面”方程： ??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0 切“线”方程：?y??(x)切向量 ??z??(x)T?(1,??(x),??(x)) ?x?x0y?y0z?z0 ??1??(x0)??(x0)法平“面”方程： (x?x0)???(x0)(y?y0)???(x0)(z?z0)?0 法向量 切平“面”方程： Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fx(x0,y0,z0)(y?y0)F(x,y,z)?0 空间曲面 ?：n?(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0), Fz(x0,y0,z0))n?(?fx(x0,y0),?fy(x0,y0),1) ?Fx(x0,y0,z0)(z?z0)?0法“线“方程： x?x0y?y0z?z0 ??Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)切平“面”方程： fx(x0,y0)(x?x0)?fy(x0,y0)(y?y0)?(z?z0)?0 法“线“方程：
z?f(x,y) 或 n?(fx(x0,y0),fy(x0,y0),?1)x?x0y?y0z?z0 ??fx(x0,y0)fy(x0,y0)?1- 3 -
高等数学（一）教案 期末总复习
第十章 总结
重积分 计算方法 （1） 利用直角坐标系 X—型 Y—型 积分类型 二重积分 典型例题 ??f(x,y)dxdy??dx??Dab?2(x)1(x)f(x,y)dy f(x,y)dx P141—例1、例3 ??f(x,y)dxdy??Ddcdy??2(y)?1(y)I???f?x,y?d?D（2）利用极坐标系 使用原则 (1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )； (2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含(x2?y2)?, 平面薄片的质量 质量=面密度?面积 ?为实数 ) P147—例5 ??f(?cos?,?sin?)?d?d?D??d?????2(?)?1(?) f(?cos?,?sin?)?d?0???2? 0???? ????2? （3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性 当D关于y轴对称时，（关于x轴对称时，有类似结论） ??0???I??2??f(x,y)dxdy?D1????计算步骤及注意事项 f(x,y)对于x是奇函数，即f(?x,y)??f(x,y)f(x,y)对于x是偶函数， 即f(?x,y)?f(x,y)D1是D的右半部分P141—例2 应用该性质更方便 1． 画出积分区域 2． 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数 关于坐标变量易分离 3． 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙 4． 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域 5． 计算要简便 注意：充分利用对称性，奇偶性
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