∴∴==2， ． ∵PC =PA?PB， ∴===， 即=． 点评： 此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 22．（14分）（2014?日照）如图1，在菱形OABC中，已知OA=2，∠AOC=60°，抛物线

2

y=ax+bx+c（a≠0）经过O，C，B三点．

（Ⅰ）求出点B、C的坐标并求抛物线的解析式．

（Ⅱ）如图2，点E是AC的中点，点F是AB的中点，直线AG垂直BC于点G，点P在直线AG上．

（1）当OP+PC的最小值时，求出点P的坐标；

（2）在（1）的条件下，连接PE、PF、EF得△PEF，问在抛物线上是否存在点M，使得以M，B，C为顶点的三角形与△PEF相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题． 分析： （Ⅰ）作CH⊥OA于点H，通过解三角函数求得A、C的坐标，由菱形的性质得出B点的坐标，然后应用待定系数法即可求得解析式． （Ⅱ）（1）先求得抛物线的顶点坐标和与x轴的另一个交点坐标，当OP+PC最小时，由对称性可知，OP+PC=OB．由于OB是菱形ABCO的对角线，即可求得 ∠AOB=30°，然后通过解直角三角函数即可求得AP的长，进而求得P点的坐标； （2）先求得△PEF是底角为30°的等腰三角形，根据OC=BC=BD=2，∠BOC=∠BDC=30°，求得△OBC∽△BCD∽△PEF，又因为AQ=4，AG=3，BC=2， 所以GQ=1，BG=，所以，tan∠BGQ==，即∠BGQ=30°，得出△BQC也是底角为30°的等腰三角形，即可求得符合条件的点M的坐标． 解答： 解：（Ⅰ）如图1，作CH⊥OA于点H， 四边形OABC是菱形，OA=2，∠AOC=60°， OC=2，OH=sin60°2=，CH=cos60°2=3， A点坐标为（2，0），C 点的坐标为（，3）， 由菱形的性质得B点的坐标为（3，3）． 2设抛物线的解析式为y=ax+bx+c，根据题意得 ， 解得a=﹣，b=所以，y=﹣x+ 2，c=0， x． （Ⅱ）（1）如图2，由（Ⅰ）知抛物线的解析式为：y=﹣x+所以对称轴为x=2，顶点为Q（2，4）． 2设抛物线与x轴的另一个交点为D，令y=0，得，x﹣4解得x1=0，x2=4， 所以点D的坐标为（4，0）， 2x， x=0， ∵点A的坐标为（2，0），对称轴为x=2， 且AG⊥BC， 直线AG为抛物线的对称轴． ∵B、C两点关于直线AG对称， 当OP+PC最小时， 由对称性可知，OP+PC=OB． 即OB，AG的交点为点P， ∵∠AOC=60°，OB为菱形OABC的对角线， ∴∠AOB=30°， 即AP=OAtan30°=2×=2， 所以点P的坐标为（2，2）． （2）连接OB，CD，CQ，BQ， 由（1）知直线AG为抛物线的对称轴， 则四边形ODBC是关于AG成轴对称的图形． ∵点E是OB中点，点F是AB的中点，点P在抛物 线的对称轴上， ∴PE=PF，EF∥OD，CQ=BQ ∠PEF=∠BOA=30°， 即△PEF是底角为30°的等腰三角形． 在△OBC、△BCD中， OC=BC=BD=2，∠BOC=∠BDC=30°， 所以△OBC∽△BCD∽△PEF， 所以，符合条件的点的坐标为（0，0），（4，0）． 又因为AQ=4，AG=3，BC=2， 所以GQ=1，BG=， 所以，tan∠BGQ==， 即∠BGQ=30°， △BQC也是底角为30°的等腰三角形， Q点的（2，4）， 所以符合条件的点M的坐标为（0，0），（4，0），（2，4）． 点评： 本题考查了直角三角函数的应用，待定系数法求解析式，菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定等；连接OB，CD，CQ，BQ，构建相似三角形是本题的关键．