浙江大学2001级微积分（上）期终考试试卷

系__________ 班级__________ 学号__________

姓名__________ 考试教室__________

题 号 得 分 评卷人 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 复核 得分 一、选择题：（每小题2分，共8分）在每题的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确那项的代号填入空格中

1.设f(x)?(x?a)(x?b)(x?c)(x?d)，其中a，b，c，d互不相等， 且f'(k)?(k?a)(k?b)(k?c) ，则k的值等于（ ）. （A）.a （B）.b （C）.c （D）.d

2.曲线y?x2?2x?2，当x???时，它有斜渐进线（ ）.

（A）.y?x?1 （B）.y??x?1 （C）.y??x?1 （D）.y?x?1

3.下面的四个论述中正确的是（ ）.

（A）.“函数f(x)在?a,b?上有界”是“f(x)在?a,b?上可积”的必要条件；

（B）.函数f(x)在区间?a,b?内可导，x0??a,b?，那末f'(x0)?0是 f(x)在x0处取到极值的充分条件；

（C）.“函数f(x)在点x0处可导”对于“函数f(x)在点x0处可微”而言既非充分也非必要；

（D）.“函数f(x)在区间E上连续”是“f(x)在区间E上原函数存在”的充要条件.

4.下面四个论述中正确的是（ ）. （A）.若xn?0 (n?1,2,（B）. 若xn?0 (n?1,2,)，且?xn?单调递减，设limxn?a，则a?0；

n???)，且limxn极限存在，设limxn?a，则a?0；

n???n???（C）. 若limxn?a?0，则xn?0(n?1,2,n???)；

a. 2（D）. 若limxn?a?0，则存在正整数N，当n?N时，都有xn?n???

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得分 ?

二、填空题：（每空格2分，共12分）只填答案

tgx1. lim(x?1)x??2=____________；lim(x?1)x??2tgx?=____________.

2.函数f(u)可导，y?f(xsinx)，则

dy=____________. dxexcosex3. ?dx=____________.

sinex 4. 得分

三、求极限：（每小题7分，共14分）

???0sintdt=____________；?cos5tdt=____________.

501.数列?xn?通项xn?

1n?12?1n?22??1n?n2，求limxn.

n???sint3dt?0t2.求lim.

x?0x?sinxx 得分 x

四、求导数：（每小题7分，共21分）

1. y?x

sinxdy，求. 21?xdx?x?t2,dyd2y2. ?求，2. ?y?sint,dxdx

dy3.函数y?y(x)由x?y?siny确定，求

dx

x?1??2,y??2;d2ydx2

x?1??y??2,2.- 2 -

得分

五、求积分：（每小题7分，共28分）

1.求

x?1?x(x2?1)dx.

2.求 3.求

???0sinx?cosxdx.

a02ax?x2dx(a?0).

??24.计算 得分 ??e?xcosxdx.

六、（6分）下面两题做一题，其中学过常微分方程的专业做第1题，未学常微

分方程的专业做第2题.

?x2dy?(xy?x2)dx,1.求解常微分方程：?

y(1)?1.?

2.有一半径为4米的半球形水池注满了水，现要把水全部抽到距水池水面高6米的水箱内，问至少要做多少功？

得分 七、（6分）

在xoy平面上将连结原点O(0,0)与点A(1,0)的线段OA（即区间?0,1?）作n等分，分点(,0)记作Pk，对k?1,2,kn,n?1，过Pk作抛物线y?x2的切线，切点为Qk.

1.设?PQkkA的面积为Sk，求Sk；

1n?12.求极限lim?Sk.

n???nk?1 得分

八、证明题（5分）

设f(x)在???,???上连续，且f(x)?0，G(x)??x0tf(x?t)dt.

证明：对任意a,b?(??,??)，且a?b，必有G(b)?G(a)?G'(a)(b?a)?0.

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