1

期末总复习题

一、填空题

1、已知向量a?i?j?2k，b?2i?j?k，则a?b= -1 。 2、曲线z?x2绕z轴旋转所得曲面方程为 z=x2 + y2 。

?3、级数???1?1?n?的敛散性为 发散 。

n?1?n3?4、设L是上半圆周x2?y2?a2（y?0），则曲线积分?1?2?y2ds= Lxa05．交换二重积分的积分次序：?02?1dy?1?yf(x,y)dx＝

?21dx?1-xf(x,y)dy

?6．级数?1的和为 1 n?1n(n?1) 。

二、选择题

1、平面(x?1)?3y?(z?1)?0和平面(x?2)?(y?1)?2z?0的关系 （ B ）

A、重合 B、平行但不重合 C、一般斜交 D、垂直

2. 下列曲面中为母线平行于z轴的柱面的是 （ C ）

A、x2?2z2?1 B、y2?2z2?1 C、x2?2y2?1 D、x2?2y2?z2?1 33. 设D:x2?y2?4(y?0),则??xln(x2?y2?1)x2?y2?1dxdy?（ A ） DA、2? B、0 C、1 D、4?

4、设D:x2?y2?4(y?0)，则??dxdy?（ A ）

DA、16? B、4? C、8? D、2?

5、函数z?50?x2?4y2在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A A、?2i?16j B、?2i?16j C、2i?16j D、2i?16j 6

、

微

分

方

程

(y?2??)y2(??)y的?阶0数为 （ B ）

A、1 B、2 C、4 D、6

7．下列表达式中，微分方程y???4y?3y?0的通解为 1

）

2

（ D ）

A、y?ex?e3x?C B、y?ex?Ce3x C、y?Cex?e3x D、y?C1ex?C2e3x 8

．

limun?0n??为无穷级数

?unn?1?收敛的

（ B ）

A、充要条件 B、 必要条件 C、充分条件 D、什么也不是

三、已知a?1，b?3，a?b，求a?b与a?b的夹角.P7

解：?a?b 　　?ab?02　　a?b?（a?b）?(1?0?3)?2????????　　a - b?(a?b)2?(1?0?3)?2　　(a?b)(a?b)?1?3??2cos??(a?b)(a?b)21　　???a?b?a-b42　　???120O解：设平面方程为Ax?By?Cz?D?0　　依题可得D?0，　-2A?B?3C?0　　又?n?1，-4，5　　?A-4B?5C?0　　　故有：47x?13y?z?0四、一平面垂直于平面

x?4y?5z?1?0且过原点和点

??2,7,3?，求该平面方程.（参考课

本P7例题）

五、设z?uev,u?x2?y2,v?xy,求

解：由全微分方程的不变性，得?z?zdz?du?dv?u?v?evdu?uevdv　?exyd(x2?y2)?(x2?y2)exyd(xy)?exy(2xdx?2ydy)?(x2?y2)exy(ydx?xdy)?exy(2x?x2y?y3)dx?exy(x3?2y?xy2)dy进而可得?z?z?exy(2x?x2y?y3)，　　?exy(x3?2y?xy2)?x2 ?y 3

dz,?z?z,. P19 ?x?y

六、求由xyz?sinz所确定的函数z?z?x,y?的偏导数

解：由xyz?sinz得xyz?sinz?0?z?z两边对x求偏导数得：cosz?yz?xy?0?x?x

?zyz解得：??xcosz?xy?z?z两边对y求偏导数得：cosz?xz?xy?0?y?y?zxz解得：??ycosz?xy?z?z, ?x?y

七、求旋转抛物面z?2x2?2y2在点M0??1,,2?处的切平面和法线方程.

解：令f(x,y)?2x2?2y2,则：fx?(x,y)?4x,fy?(x,y)?4y所以：n??4x,4y,?1?,nM???4,2,?1?0??12??故曲面在点M0处的切面方程式为： ?4(x?1)?2(y?1)?(z?2)?02即：4x?2y?z?3?012?z?22?1

x?1法线方程式为：??4x?12y?1即：??z?24?4y?

3