流体力学B篇题解

B1题解

BP1.1.1 根据阿佛迦德罗定律，在标准状态下（T = 273°K，p = 1.013×10Pa）一摩尔

23

空气（28.96ɡ）含有6.022×10 个分子。在地球表面上70 km高空测量得空气密度为8.75

-53336

×10 ㎏/m。 试估算此处 10 μm体积的空气中，含多少分子数n (一般认为n <10 时，连续介质假设不再成立)

答： n = 1.82×10 3

提示：计算每个空气分子的质量和103μm3体积空气的质量 解： 每个空气分子的质量为 m?5

28.96g?23?4.81?10g 236.022?10 设70 km处103μm3体积空气的质量为M M?(8.75?10kg/m)(10?10?533?18m3)?8.75?10?20g

M8.75?10?20g3??1.82?10 n? m4.81?10?23g说明在离地面70 km高空的稀薄大气中连续介质假设不再成立。

BP1.3.1 两无限大平行平板，保持两板的间距δ= 0.2 mm。板间充满锭子油，粘度为μ=

3

0.01Pa?s，密度为ρ= 800 kg / m。若下板固定，上板以u = 0.5 m / s的速度滑移，设油内沿板垂直方向y的速度u (y)为线性分布，试求： (1) 锭子油运动的粘度υ；

(2) 上下板的粘性切应力η1、η2 。

答： υ= 1.25×10 – 5 m2/s, η1=η

2

= 25N/m2。

提示：用牛顿粘性定侓求解，速度梯度取平均值。 解：(1 ) ???0.01kg/sm-52??1.25?10m/s 3?800kg/m （2）沿垂直方向（y轴）速度梯度保持常数，

?1??2??du??u/?= (0.01Ns / m2)(0.5m/s)/(0.2×10-3m)=25N/m2 dyBP1.3.2 20℃的水在两固定的平行平板间作定常层流流动。设y轴垂直板面，原点在下板上，速度分布u ( y )为 u?6Q2(by?y) 3b3 式中b为两板间距，Q为单位宽度上的流量。若设b = 4mm，Q?0.33m/s?m。试

求两板上的切应力?。w

答：??0.124?10?3N/m2

提示：用牛顿粘性定侓求解，两板的切应力相等。

解：由对称性上下板的切应力相等

???dudy?y?06Q?6Q?(b?2y)? y?0b2b2 查表 μ=1.002×10 – 3Pa·s,两板上切应力相等

6(0.33m3/sm)(1.002?10-3Ns/m2)?0.124?10?3N/m2 ???32(4?10m)

BP1.3.3 牛顿液体在重力作用下，沿斜平壁 (倾斜角θ)作定常层流流动，速度分布u (y) 为

u?gsin?(2hy?y2) 2?；

式中?为液体的运动粘度，h为液层厚度。试求 (1). 当??300时的速度分布及斜壁切应力?w1 (2). 当? = 90°时的速度分布及斜壁切应力?w2 ；

(3). 自由液面上的切应力?0 。 答：?w1?1?gh； ?w2??gh ； ?0 = 0 。 2 提示：用牛顿粘性定侓求解。

解：（1）θ= 30°时，u = g (2 h y- y 2 ) / 4ν ?w1??dudy?y?011?g(h?y)??gh 22y?0 (2)θ= 90°时，u = g (2 h y- y 2 ) / 2ν ?w2??dudy??g(h-y)y?0??gh

y?0 (3) ?0??dudy??gsin?(h-y)y?h?0

y?h2

BP1.3.4 一平板重mg = 9.81N，面积A = 2 m，板下涂满油，沿θ= 45°的斜壁滑下，油膜厚度h = 0.5 mm 。若下滑速度U =1m/s, 试求油的粘度μ。

答：??1.734?10Pa?s

提示：油膜切应力之合力与重力在运动方向的分量平衡，油膜切应力用牛顿粘性定

律求解，速度梯度取平均值。

?3 解：平板受力如图BP1.3.4所示，油膜切应力之合力与重力在运动方向的分量平衡

mgsin???A??UA hhmgsin?(0.5?10?3m)(9.81N)sin45ο?3????1.734?10Pa?s 2UA(1m/s)(2m)BP1.3.5 一根直径d =10 mm，长度l =3 cm的圆柱形轴芯, 装在固定的轴套内，间隙为

δ= 0.1mm,间隙内充满粘度μ= 1.5 Pa?s 的润滑油,为使轴芯运动速度分别为V= 5cm/s, 5 m/s,50 m/s轴向推动力F分别应为多大。

答：F1= 0.705N, F2 = 70.5N, F3= 705N 。 提示：用牛顿粘性定侓求解，速度梯度取平均值。 解：F =τA，???V?，A=πd l

?V?dl(1.5Ns/m2)?(0.01m)(0.03m)?V?14.1V(Ns/m) F??0.1?10-3m 当V1= 5×10 –2 m/s 时，F1= 0.705 N

V2=5 m/s 时， F2=70.5N

V3=50m/s时， F3=705N

BP1.3.6 一圆柱形机轴在固定的轴承中匀速转动。轴径d = 20 cm, 轴承宽b = 20cm,润滑油粘度μ=0.2Pa·s,轴承转速为n=150r/min。设间隙分别为δ=0.8 mm,0.08mm,0.008mm

?。 时,求所需转动功率W??77.4W,W??774W,W??7740W。 答:W123??M?, M为轴承面提示：轴承面上的切应力用牛顿粘性定侓求解，所需功率为W上粘性力对轴心的合力矩，? 为角速度。 解:轴承面上的切应力为 ???du?d ??dr2? 式中??2?n/60?2π(150r/min)/(60s/min)?15.7rad/s

dd1???bd32 轴承面上的合力矩为 M??A???db???bd?

2224? 所需要的功率为

2323???bd(0.2Pa?s)(15.7rad/s)π(0.2m)(0.2m)1??M??W??4?4?

2 ?0.0621N?m()?s?= 77.5 W 当δ= 0.8 mm时, W1?=775 W δ= 0.08 mm时, W2?= 7750 W δ= 0.008 mm时, W3BP1.3.7 旋转圆筒粘度计由同轴的内外筒组成，两筒的间隙内充满被测流体，内筒静止，

外筒作匀速旋转。设内筒直径d = 30 cm；高h = 30 cm，两筒的间隙为δ= 0.2 cm，外筒的角速度为ω=15rad/s，测出作用在内筒上的力矩为M = 8.5 N-m, 忽略筒底部的阻力，求被测流体的粘度μ 答：μ=0.176 Pa·s

提示：M为轴承面上粘性力对轴心的合力矩，粘性力用牛顿粘性定侓计算,速度梯度用平均值。

解：作用在内筒上的力 F = M / 0.5 d＝2M/d 外筒的线速度为 V??(0.5d??) 由牛顿粘性定律 F??A??V??dh???(0.5??)?dh?2M/d

???

2Mδωπd2h(0.5d?δ)2(8.5N?m)(0.2?10m)?0.176Pa?s(15rad/s)?(0.3m)2(0.3m)(0.15m?0.002m)-2

?BP1.4.1 用量筒量得500ml的液体，称得液体的重量为8N，试计算该液体的(1)密度?；(2) 重度?g；(3) 比重SG。

答：??1631kg/m,?g?16kN/m, SG =1.63.

33?m(8N)/(9.81m/s2)3??1631kg/m解： (1) ?? -63??500?10m (2）?g?(1631kg/m)(9.81m/s)?(16?10kgm/s)/m?16kN/m

(3) SG = (1631 kg/m3) / (1000 kg/m3) = 1.63

BP1.4.2 已知水的体积弹性模量为K =2×10Pa，若温度保持不变，应加多大的压强Δp才能使其体积压缩5% 。

答：Δp =10Pa

提示：按体积弹性模量的定义计算。 解：由体积弹性模量的定义 K??

8

9

323233dp d?/? 式中τ为体积。与体积变化相应的压强变化为 ?p??Kd???(?2?109Pa)(?0.05)?108Pa

5

5

9

3

BP1.4.3 压力油箱压强读数为3×10Pa，打开阀门放出油量24kg，压强读数降至1×10Pa，设油的体积弹性模量为K=1.3×10 Pa，密度为ρ= 900 kg/m，求油箱内油原来的体积τ。 答：τ=173.55 m3

提示：按体积弹性模量的定义计算。

BP1.4.4 将体积为τ1的空气从0℃加热至100℃，绝对压强从100kPa增加至500kPa，试求空气体积变化量??。 答：????0.727?1

提示：用完全气体状态方程求解。

解：设空气为完全气体，满足状态方程，从状态1到状态2

p1?1p2?2? T1T2 ?2??1T2p1273?100100??1?0.273?1 T1p2273500 ???(?2??1)?(0.273?1)?1??0.727?1

BP1.4.5 玻璃毛细管的内径为d=1mm，试计算10?C的水在空气中因毛细效应升高的最大值

?h。

答：?h＝0.03m 解：查

??0.0742N/m2, 4?14(0.0742N/m2)1?h?????3?0.03m332?gd(10kg/m)(9.81m/s)10mBP1.4.6 两块互相平行的垂直玻璃平板组成间距b=1mm的狭缝，试求10?C的水在空气中因毛细效应升高的值?h，并于BP1.4.5作比较。 答：?h＝0.015m

图BE1.4.2

解：参图BE1.4.2，计算单位宽度的缝隙中水体的力平衡 2?cos???g?hb ??0?,h?2?cos?2?0.0742??0.015m 22?3?gb(9810kg/ms)(10m) 讨论：升高值只有毛细管的一半。

BP1.4.7 20?C空气中有一直径为d＝1mm的小水滴，试用拉普拉斯公式计算内外压强差