?? L:?3a?c?3?0??T:?b?1?0?得流量系数为 Π1?-

M:a?0a?0b??1c??3Q 3nD

Π2=ρanbD cμ = (ML3) a (T –1 ) bLc (M L –1 T – 1 )

?? L:?3a?c?1?0??T:?b?1?0?M:a?1?0a??1b??1c??2

得 Π2? 直接写出 Π3? CgH??nD2

l,DΠ4??D

?Q?nD2l??gH?22?f1??nD3,?,D,D?? nD??2??WQ?nDl??s???f,,,? 2?253??nD?DD??nD CW?s ???QgH?Ws?Q?nD2l???f3??nD3,?,D,D??

??w及流体密度ρ

BP5.2.10 设不可压缩粘性流体沿平板流动时湍流边界层内时均速度 u与离壁面的垂直距

离y，壁面上的切应力τ

和运动粘性系数ν有关，试用量纲分析法

将这些变量的关系式表达为如下形式：u/u??f(yu?/?)，式中u???w/?。 提示：取ρ，τ

w ，g

为基本量。

解：物理关系式 u??(?,?w,y,?) 选?,?w,y为基本量

a ?1???bwycu?(ML?3)a(ML?1T?2)bLc(LT?1)

?a?1/2uu??,u*??w/? L:?3a?b?c?1?0?b??1/2?1??w/?u*?c?0T:?2b?1?0?a ?2???bwM:a?b?0yc??(ML?3)a(ML?1T?2)bLc(L2T?1)

?a?1/2???? L:?3a?b?c?2?0?b??1/2?2?

y?w/?yu*?c??1T:?2b?1?0? ?数关系式

M:a?b?0yuu?f(*) u*?BP5.4.1 在气体动力学中热传递成为重要物理过程。单位体积流体携带的热量在x方向的

?2T?T迁移变化率可表为QC??cpu ，传导热量为Qk?k，k为传导系数。

?x?x2试用物理法则法确定反映Qc和Qk量级之比的相似准则数佩克勒数Pe（Peclet）。

答：Pe =ρcpV l / k

解：设特征物理量为ρ，V，L，cP，k，T，u,

携带对流热

Qc??cPu 传导热

?T?1～?cPVTl ?x?2TQk?k2～ k T l – 2

?x Pe?携带对流热传导热??cPVTl?1kTl?2??cPVlk??Vl?cP?RePr

?kBP5.4.2 试用物理法则法推导描述牛顿粘性流体流动中压差力与粘性力量级之比的拉格

朗日数La (Lagrange)。

答：La = Δp l/μV

解：粘性力 Fv??duA～μV l –1 l 2 =μV l dy 压力 Fp??pA～Δp l 2

?pl2?pl?? La?

粘性力?Vl?V压力BP5.4.3 有两块垂直放置的固定平行平板，相距2h 。板间充满静止的不可压缩粘性流体，

密度为ρ，粘度为μ，热膨胀系数为β。当两板温度分别为T0和T1（T1>T0）时，板间流体在温差作用下发生热对流运动，可用考虑浮力的N-S方程描述

式中Tm= (T0+T1)/2。取

d2u 0?ρg?(T?Tm)?μ2

dy u??T?Tm?huy?，T?，y??

T1?Tm?h 将方程无量纲化后可得

d2u????GrT dy?2 式中Gr称Grashof数，是反映热气体自由对流的相似准则数，试推导其表达式。 答：Gr = gρ2 h3β (T1-Tm) /μ2

解：将u?u*?*，T?Tm?(T1?Tm)T*，y?yh 代入N-S方程可得无量纲方程 ?h*??d2u* 0?(T1?Tm)??gT?2

h?hdy*2 化为

d2u* *2??GrT*dyGr?g?h?(T1?Tm)23

?2用低雷诺数流动的N-S方程描述

BP5.4.4 不可压缩牛顿流体在狭窄通道（如圆柱轴承缝隙）中, 在压强梯度作用下流动，可

dpd2u??2 dxdy 试利用特征长度l， 特征速度V和特征压强p 0对方程无量纲化，确定相似准则数，并与题BP5.4.2作比较。

答：La = p0 l /μV

解：设u*?ux,x*?,Vly*?y,lp*?p,代入方程得无量纲方程 p0p0dp*Vd2u*p0ldp*d2u*??2*2,或?*2 **?Vdxdyldxldy 令La?p0l为拉格朗日数，与BP5.4.2结果一致。 ?VBP5.6.1 光滑圆球以速度V = 1.6 m/s在水中运动。为求圆球受到的阻力F，在风洞中用直

径放大到两倍的光滑圆球作模型实验。试求（1）为保证两者流动相似，风洞中的空气速度Vm应多大？（2）若在风洞中测到的阻力为Fm = 0.95 N，原型球的阻力多大？（空气密度ρm= 1.28 kg / m3，运动粘度?m?13?H2O） 提示：（1）保证Re数相等；（2）保证Ne数相等。 答：F = 4.39 N 解：（1）为保证动力相似，主Π数Re应相等

Vmlm?m?Vl?l?m1?(1.6m/s)()(13)?10.4m/slm?2

Vm?V 查相应的声速为332m/s，马赫数为10.4/332=0.03< 0.3，仍为不可压缩流动。

（2）由Ne数相等

FmF?22?mVmlm?V2lF?Fm?Vl101.6212?(0.95N)()()?4.39N22?mVmlm1.2810.42223

BP5.6.2 在实验室里用缩小到1/20倍的模型模拟溢流堰的流动（图见BP5.2.5）。若原型上

水头高H = 3m，试求（1）模型上的水头H m；（2）若原型流量Q = 340 m3/s，模型中流量Q m应为多大？（3）测得模型堰顶真空度hvm= 0.2 mH2O (v)，求原型堰顶真空度hv 。

提示：（1）保证几何相似；（2）保证Fr数相等；（3）保证Eu数相等。 答：Hm= 0.15 m，Q m= 0.19m3/s，hv= 4 m H2O(v)

h111解：（1）为保证几何相似m?,hm?h?(3m)?0.15m

h202020 (2 ) 为保证动力相似，主Π数Fr相等

22VmhmQmVmhmhm5/2VmV1??() ?，2?，?2QVhhh20ghmghV Qm?Q(hm5/21)?(340m3/s)()5/2?0.19m3/s h20 (3 ) 由Eu数相等， Eu??ghvghv?p??2 22?V?VVghvghvmV2?2，hv?hvm2?(0.2mH2O)(20)?4mH2O(v) 2VmVVmBP5.6.3 汽车的高度h = 2 m，速度V= 108 km / h，环境温度为20℃。为求汽车阻力在风洞

里作模型实验。设风洞中温度为0℃，气流速度Vm= 60 m/s，试求（1）模型汽车的高度hm应为多大?（2）若在风洞中测到阻力Fm=1500 N，原型汽车阻力F多大？

提示：（1）保证Re数相等；（2）保证Ne数相等。

答：h m= 0.874 m，F=1830 N

解：V =108×10 3 m/ 3600 s = 30 m/s

查表可得20℃时 ν= 0.151 cm2/s，ρ=1.204 kg/m3 0℃时 νm=0.132 cm2/s，ρm=1.292 kg/m3 (1)由主Π数Re数相等，保证动力相似

Vmhm?m?Vh?， hm?hV?m300.132 ?(2m)()()?0.874mVm?600.151