?p。

答：?p＝291.2Pa

2?2(0.0728N/m2)??291.2Pa 解：?p??3R0.5?10m

B2题解

BP2.2.1 已知速度场为u = 2y (m/s), v = 1 (m/s)，试求通过图BP2.2.1中阴影面积（1）

（右侧面）和（2）（上侧面）的体积流量Q1和Q 2 。 答：Q 1 =2 m3/s，Q 2 = 6 m3/s

解：由体积流量公式（B2.2.3）式 Q? 对面积（1）n = i dA = 2dy Q??(v?n)dA

A?10(2yi?j)i2dy??4ydy?2y2?2m3/s

0011dydxi?j， dA=2ds (s沿AB线) dsds12dydx Q??(2yi?j)(i?j)2ds??2(2ydy?dx)??4ydy??2dx

AA00dsds 对面积（2）n? =2y210?2x0?6m3/s

2BP2.2.2 不可压缩粘性流体在圆管中作定常流动，圆管截面上的速度分布为

u?10(1?r2/R2) cm/s，圆管半径R=2cm，试求截面上的体积流量Q，平均速

度V和最大速度um。

答：Q =20πcm3/s，V=5 cm/s，um= 10 cm/s

解： Q??(v?n)dA??AR0R0u2?rdr??R0r220?(1-2)rdr

RR?20??r311(r?2)dr?20?(r2?2r4)R24R011?20?(R2-R2)?20?(2-1)?20?cm3/s 24QQ20?cm3/sV????5cm/s22A?R4?cmum?2V?10cm/sBP2.2.3 已知圆管定常流动中截面上的速度分布为

u?um(1?r/R)n (n ≠-1,-2)

式中um为圆管轴线上的最大速度，R为圆管半径。（1）试验证截面上的平均速度为V?2um/[(n?1)(n?2)]； （2）取n= 1/7，求V。

答：V = 0.8167 um

Q1ur2umrn?2?udA?m2?(1?)n2?rdr?2(1?)rdr （a） 解：（1）V?A?R?R0RR?R0 由积分公式

RR?R0RRrnRRrn?1R?rn?1rn?1?(1?)rdr??rd(1?)????(1?)dr??r(1?)0Rn?1?0Rn?1?RR?0??RRRrn?1r?R2r ??(1?)d(1?)?(1?)n?1?0RR(n?1)(n?2)R0R2 ?(n?1)(n?2) 代入(a)式

2umR22um? V?2?

R(n?1)(n?2)(n?1)(n?2) 当n＝1/7时 V?2um?0.8167um

11(?1)(?2)77BP2.2.4 在习题BP2.2.3的速度分布式中取n = 1 / 10，计算动能修正系数α，并与例B2.2.2

中n = 1/7的结果作比较。

答：?=1.031

2um2?10?10解：由BP2.2.3 V??um?0.8658um

1111?21(?1)(?2)1010 或um / V= 1.155。由例B2.2.2动能修正系数定义为

???

2R2?R0u2()3rdr?2VR?R0r1/10??um(1?)?rdr?VR??32?1.153R22?1.153?(R0(1??r3/10)drRR2310?2)

R2310?1)(?1.1553?2?10?1013?23?1.031 计算表明，与1/7指数分布相比，1/10指数分布的速度廓线更加饱满，动能修正系数更接近于1。

BP2.3.1 设平面流动的速度分布为u = x2, v = -2 xy, 试求分别通过点（2, 0.5），（2, 2.5），（2,

5）的流线，并画出第一象限的流线图。

答：xy?C

解：流线方程为

2dxdy?,2?2xyxdydx??2 yx 积分可得 ln y = - 2 ln x + ln C1, y = C x –2 或 x 2 y = C 通过（2，0.5）时 C = 2 流线为xy?2 (2，2.5 ) C= 10 xy?10

(2，5） C= 20 xy?20

BP2.3.2 设平面不定常流动的速度分布为u = x + t，v = - y + t，在t = 0时刻流体质点A位

于点(1,1)。试求（1）质点A的迹线方程，（2）t=0时刻过点（1, 1）的流线方程并与迹线作比较。

222，y?2e?t?1;(2) xy?1 答：(1) x?2e?t?1解：（1）由 由

t?tdx?x?t,dtx?C1et?t?1, t = 0 时x = 1, C 1 = 2

y?e?t(?tetdt?c2)?e?t(tet?et?C2)?C2e?t?t?1

－

dy??y?t,dt t = 0时y = 1, C2 = 2, 迹线方程为 x = 2et - t – 1, y = 2 et + t – 1 (2 ) 由

dxdy?，（x + t）(- y + t ) = C , t = 0 时x = y = 1，C = - 1, x?t?y?t 此时的流线方程为 x y = 1

BP2.3.3 设平面不定常流动的速度分布为u = xt, v= 1, 在t = 1时刻流体质点A位于(2,2)。

试求(1)质点A的迹线方程； (2)在t=1、2、3时刻通过点（2, 2）与流线方程, 并

作示意图说明。

答：(1) y?(2ln解：（1）由

x1?1)1/2?1,(2) y?lnx?C 2tdx1?u?xt，dx?xtdt，解得lnx?t2?C1

2dt1 因t = 1时，x = 2, 可得C1?ln2?。代入上式得

2lnx?ln2?t?(2ln 由

112?t,222lnx?1)1/22x?1?t22 （a）

dy?v?1解得 dty?t?C2 （b）

因t = 1时，y = 2可得C2 = 1由(a), (b) 式可得质点A的迹线方程为 y?(2lnx?1)1/2?1 2 （2）流线方程为

dxdy ?xt111lnx?y?C3 或 y?lnx?C3 tt 积分得

x?2 21111x t=2时x=y=2，C3??ln2?2，流线方程为 y?lnx?ln2?2?ln?2

222221111x t=时x = y = 2，C3??ln2?2，流线方程为 y?lnx?ln2?2?ln?2

33332 t = 1时 x=y=2，C3 =-－ln2＋2，流线方程为 y?lnx?ln2?2?ln t = 1 时，迹线与流线在点（2，2）相切，随时间的增长，过点（2，2）的流线斜

率越来越小。 BP2.3.4 设平面不定常流动的速度分布为u = xt, v = - (y+2) t, 试求迹线与流线方程。 答：x(y+2) =C 解：迹线方程为

dxdy??dt xt?(y?2)t 将上式中分母上的t消去后，两项分别仅与x和y有关，只能均为常数。因此迹

线与时间t无关

dxdy (a) ?x?(y?2)积分得

lnx??ln(y?2)?C

x ( y + 2 ) = C (b) (a)式也是流线方程，与迹线方程形式相同。

讨论：本例属不定常流场，每一时刻同一点的速度不相同，但由于两个速度分量与时

间成比例关系，流线与迹线的形状均不随时间变化，且相互重合。

BP2.3.5 在流场显示实验中，从原点连续施放染料液形成脉线。设速度场由下列规律决定：

0≤t<2s 2s≤t≤4s

u =1m/s u=0.5m/s

v=1m/s v=1.5m/s

试画出t = 0、1、2、3、4 s时流过原点的质点迹线及由这些质点组成的脉线。

提示：这是不定常流场，脉线与迹线不重合。画出从原点出发的质点每一时刻的位置可

得到每一质点的迹线，t = 4s时5个质点位置的连线是该时刻的脉线。

解：这是不定常流场，脉线与迹线不重合。在每一时刻质点的位置如下表所示

t /s 0 1 2 3 4 质点a (0,0) (1,1) (2,2) (2.5, 3.5) (3.0, 5.0)

b (0,0) (1,1) (1.5, 2.5) (2.0, 4.0) c (0,0) (0.5, 1.5) (1.0, 3.0) d (0, 0) (0.5, 1.5) e (0, 0) 上表中横向行中数据组成迹线，竖向列中数据组成脉线。

BP2.4.1 已知流场的速度分布为V = xyi + y2j，试问（1）该流场属几维流动？（2）求点（1 ,

1）处的加速度。

答：(1)二维；(2) (2,2)

解：（1）速度分布式中只包含2个变量，为二维流动； （2）ax?u?u?u?v?xy?y?y2x?2y2x, ax (1,1) = 2 ?x?y?v?v?v?xy?0?y22y?2y3, ay (1,1) = 2 ?x?y ay?uBP2.4.2 已知流场的速度分布为V = (4x3+2y+xy)i + (3x-y3+z )j，试问（1）该流场属几维流

动？（2）求点（2, 2, 3）处的加速度。

答：(2004，108，0)

解：（1）属三维流动； （2）ax?u?u?u?u?v?w?(4x3?2y?xy)(12x2?y)?(3x?y3?z)(2?x) ?x?y?z = (4×8+2×2+2×2)(48+2)+(6-8+3)(2+2) = 40×50 + 4 = 2004