ay?u?v?v?v?v?w?(4x3?2y?xy)?3?(3x?y3?z)(?3y2) ?x?y?z = 40×3 –12 = 108
BP2.4.3 已知流场的速度分布为V = x2yi -3yj +2x2k，试问（1）该流场属几维流动？（2）求点（2, 1, 1）处的加速度。
答：（4, 9, 32）
解：（1）属二维流动；
（2）ax?u?u?u?u?v?w?x2y(2xy)?(?3y)x2 ?x?y?z ?2x3y?3x2y?16?12?4
ay?u?v?v?v?v?w??3y(-3)?9 ?x?y?z?w?w?w?v?w?x2y(4x)?4x3y?32 ?x?y?z az?uBP2.4.4 不可压缩无粘性流体在圆管中沿中心轴x 轴作一维定常流动，在0≤x≤30m段，
由于管壁为多孔材料，流体从管壁均匀泄漏，速度的变化规律为u (x) = 2 (10-0.3x) m/s，试求此段的流体加速度ax表达式及x =10m处的加速度值。 提示：用一维定常流动连续性方程ax?ux有关，在x =33.3m处，ax = 0。
答：-8.4 m/s2
解：对一维定常流动ax?u?u求解。流体沿管轴作减速运动，减速度与?x?u?2(10?0.3x)?2(?0.3)??1.2(10?0.3x) ?x ax (x = 10) = -1.2×7 m/s2 = -8.4 m/s2
B3题解
BP3.1.1 试判断下列各二维流场中的速度分布是否满足不可压缩流体连续性条件： (1) u = x2+2x-4y, v = -2xy-2y (2) u = x2+xy-y2, v = x2+y2 (3) u = x t +2y, v = x t 2-y t (4) u = x t2, v=xyt+y2 提示：按??v??u?v??0判断 ?x?y 答：（1）满足，（2）不满足，（3）满足，（4）不满足
解：（1）
?u?v??(2x?2)?(?2x?2)?0，满足不可压缩流体连续性条件。 ?x?y?u?v??(2x?y)?2y?0，不满足。 ?x?y?u?v??t?(?t)?0，满足。 ?x?y?u?v??t2?(xt?2)?0，不满足。 ?x?y （2）
（3）
（4）
BP3.1.2 试判断不列各三维流场的速度分布是否满足不可压缩流体连续性条件： （1）u?2x?y, （2）u??2v?2y2?z,w??4?x?y?z?xy
2xyz?x2?y22?2,?xv??x22?y2z?y22??,w?y
x2?y2 （3）u?2xz?y, （4）u?xyt,提示：按??v?v??2yz?x2yz,w?2xy?z2x
v??2yzt2,w?z2t2?zyt
?u?v?w???0判断 ?x?y?z解：（1）
?u?v?w???4x?4y?[?4(x?y)]?0，满足不可压缩流体连续性条?x?y?z件。
(2)
?u?2yz(x2?y2)2?2(x2?y2)2x(?2xyz)??x(x2?y2)4??2yz(x?y)?4yz(2x?2xy)(x2?y2)4222422
?v?2yz(x2?y2)2?2(x2?y2)2y(x2?y2)z??y(x2?y2)4??2yz(x?y)?4yz(?x?y)(x2?y2)422244
?w?u?v?w?0,???0，满足。 ?z?x?y?z （3）
?u?v?w???2z?(?2z)?x2z?2zx?0，不满足。 ?x?y?z?u?v?w???yt?(?2zt2)?(2zt2?yt)?0，满足。 ?x?y?z22 （4）
BP3.1.3 在不可压缩流体三维流场中，已知u?x?y?x?y?2,导另一速度分量w的一般表达式。
答：w??(2xz?z?2yz?z)?C
解：由
2v?y2?2yz，试推
?v?u?2y?2z,?2x?1和?y?x2?w?u?v??(?)??(2x?1?2y?2z) ?z?x?y w??(2xz?z?2yz?z)?C
BP3.1.4 在不可压缩流体平面流场中，已知u?ax?by（a, b为常数），试推导y方向速
度分量v的表达式，设y = 0时，v = 0。
答：v??2axy
2解：由
?u?v?v?u??0,????2ax,v??2axy?f(x) ?x?y?y?x 当y = 0时，v = f (x) = 0, v = - 2 a x y
BP3.1.5 不可压缩粘性流体对零攻角平板作定常绕流时，层流边界层中速度廓线可近似用
u3y1?y????? 下式表示：
U2?2??? 式中U为来流速度，δ为边界层厚度，δ与沿平板距前缘的坐标x的关系为
3??cx,c为常数。试验证y 方向速度分量v满足如下式
24v??3?y?3?y?????????? Ux??8???16????? 解：由??cx,d?11cx??c?? dx22x2xx1?u31?131??y(?2)?y(?3)4U?x2?2x2?2x 331?31?3?yy??y2?y34?(4?2)4?x4?x4x??1?v1?u3?yy3???(?) 由连续性方程
U?yU?x4x?2?4v3?yy3?1y1y?(?)dy?(?)U4x?0?2?44x2?24?40y324y
???3y23y4?()?()?x?816????BP3.2.1 试分析角域流u = k x, v = -k y (k为常数)中的应力状态。
提示：有附加法向应力，无切向应力。 解：?x?2??u?v?2?k,?y?2???2?k， ?x?ypyy??p?2?k
pxx??p?2?k,
?xy??yx??(?u?v?)?0?y?xBP3.2.2 试分析纯剪切流u = k y, v = k x (k为常数)中的应力状态。
提示：无附加法向应力，有切向应力
答：?x??y?0,pxx?pyy?0,?xy??yx?2?k 解：?x?2??u?v?0,?y?2??0， ?x?ypyy??p ?u?v?)??k??k?2?k?y?xpxx??p,
?xy??yx??(BP3.5.1 二无限大平行板间距为b，中间充满均质不可压缩牛顿流体。设下板固定不动，上
板以匀速U沿x方向运动。在x方向存在恒定的压强梯度dp / dx = 常数，设速度分布和体积力分别为
u?U1dp2y?(y?by), v = 0; fx = 0, fy = - g b2?dx 试验证是否满足N-S方程及边界条件。
提示：边界条件为y = 0, u = 0 ；y = b, u = U
解：平面流动N-S方程为
?u?u?u?p?2u?2u?u?v)??fx???(2?2) ?(?t?x?y?x?x?y?v?v?v?p?2v?2v?v)??fy???(2?2) ?(?u?t?x?y?y?x?y(a)
(b)
?u?u?2u?uU1dp??2?0,??(2y?b) 本题中
?t?x?x?yb2?dx?2u1dpdp?p?,?C ，???g（重力） 2?y?dxdx?y 代入（a）式左边= 0，右边=?dp1dpdpdp???????0 dx?dxdxdx 代入（b）式左边= 0，右边=??g?(??g)?0, 满足N-S方程。 在y = 0处u = 0与下板相同; 在y = b处u?U?1dp2(b?b2)?U，与上板相同，满足边界条件。
2?dxBP3.5.2 放置在x轴线上无限大平板的上方为静止的均质不可压缩牛顿流体。设平板在自
身平面内以速度u = U cosωt作振荡运动，U和ω均为常数。不考虑重力和压强因素，试验证流场中的速度分布
u?Ue?y?2?cos(?t-y?)，v = 0 2? 是否满足N-S方程及边界条件。
提示：边界条件为y = 0, u = U cosωt；y→∞, u = 0
解：这是不定常流动，忽略重力和压强因素，N-S方程为
?u?u?u?2u?2u?u?v??(2?2) ?t?x?y?x?y?y?u??U?e由速度分布式?t?2???2u?usin(?t-y)，?0，2?0，v = 0
2??x?x?2??u??y??Ue?y2??U?2??y?cos(?t?y)?Ue2?sin(?t?y??)(?)2?2??e2??-y2?
[sin(ωt?y[sin(?t?yω?)?cos(?t?y)]2ν2??2u??y??Ue2?y2??2???)?cos(?t?y)]? 2?2?