??y?Ue2?

?2?[cos(?t?y????)(?)?sin(?t?y)(?)]2?2?2?2?ω??)?cos(?t?y)?cos(?t?y)? 2ν2?2??2??-y??Ue2??2?[sin(ωt?y???y?sin(?t?y)]??Ue2???y?u??U?e N-S方程左边=?tsin(?t?y?)2??2?sin(?t-y?2??) 2??)，满足N-S方程。 2??y?2u??U?e 右边=??y2sin(?t-y 在y = 0处，流体速度为u = U cosωt，与平板一致，在无穷远处，u = 0，满足边界条件。 BP3.6.1 盛水容器的固壁如图BP3.6.1所示，自由液面上均为大气压强。试定性地画出斜壁

或曲壁AB和A'B'上的压强分布图。

提示：图C是密封容器，可设压强均大于大气压强。注意弧线上压强连续变化,且弧

AB上最高点压强最小；弧A’B’上最低点压强最大。 BP3.6.2 试求水的自由液面下5m深处的绝对压强和表压强，液面上为大气压强。 答：p5m?150.35?103Pa(ab)?49.05?103Pa

解：p5m = pa+ρgh = (101.3×10 3 Pa) + (9810 kg / m2 s 2) (5m) = (101.3×10 3Pa) + (49.05×103Pa ) =150.35×10 3Pa (ab) p5m=ρgh = 49.05×103Pa （g）

BP3.6.3 图BP3.6.3示密封容器内盛有水，水面高h0 =1.5m，液面上压强为p0。在侧壁B

点的测压管中水位高为h1=1m，A、B两点的位置高度为 hA=1.2m，h B= 0.8m。试求p0(ab)， pA(v)，pB (g)。 答：p0=96.4 kPa (ab)， pA=1.96 kPa (v)； pB = 1.96 kPa (g)

解：利用等压面性质

p0 +ρg (h0- hB) =ρg(h1 - hB )

p0 =ρg(h1-h0)=(9810 kg/m2s2 ) (1m -1.5m) = - 4905Pa p0=(-4.9×103Pa)+ (101.3×10 3Pa) = 96.4×103Pa (ab)

pA= p0+ρg(h 0-hA)= -4903 Pa +9806 kg / m2s2) (1.5m -1.2m) =(-4903Pa)+(2941.8Pa) = -1961.2 Pa=1.96kPa(v)

pB= p0+ρɡ (h0-hB) = (-4903Pa) + (9806 kg / m2s2 ) (1.5m - 0.8m ) = (-4903Pa)+( 6864.2Pa ) = 1961.2Pa (g)=1.96kPa(g)

BP3.6.4 一气压表在海平面时的读数为760 mmHg,在山顶时的读数为730 mmHg，设空气的

密度为1.3 kg/m3，试计算山顶的高度。

答：h=313.5m

解：p0?p1?(760mmHg-730mmHg)101300pa760mmHg?3998.7Pa?3998.7kg/ms2

h?p0?pρg1?3998.7kg/ms2(1.3kg/m3)(9.81m/s2)?313.5m

BP3.6.5 图BP3.6.5示U形管内有两种互不相混的液体，第一种液体是水，ρ1=103 kg/m3，

第二种液体的密度为ρ2= 827 kg/m3。设第二种液体的柱长h = 103 mm，试求左右自由液面的高度差Δh(mm)，并判断若在左支管中加水,Δh将如何变化？

答：Δh=17.8mm

解：O-O为等压面：ρ1g (h-Δh)=ρ2 g h

?2827kg/m3)h?(1?)(103mm)?17.8mm Δh?(1?3?11000kg/m 在左支管中加水，两边水面同步增高，Δh不变。 BP3.6.6 图BP3.6.6示对称贮液罐连通器，已知ρA，ρB，ρ

C和

h1, h2, h3, h4及p0，试求A

罐底部压强pb和顶部压强pt的表达式，并讨论它们与h1的关系。

提示：从B罐液面开始按压强公式计算p b(与h1无关）；在A罐内计算pt与pb的关系

（与h1有关）

解：2-2为等压面：pb+ρA g (h3-h4)+ρc g h4= p 0+ρB g (h 2 + h 3 ) pb= p0+ρBg (h 2 + h 3) -ρA g (h3-h4)-ρc g h4 (与h1无关) pt+ρAg h1= pb

pt= p0+ρB g (h2 + h3 ) -ρAg (h3-h4+ h1)-ρc g h 4 (与h1有关)

BP3.6.7 图BP3.6.7示用复式水银测压计测量容器中水面上的压强p0，已知h = 2.5 m, h1 =

0.9m，h2 = 2.0 m, h3 = 0.7 m，h 4= 1.8 m，其中h2与h 3之间也是水。 答：p0 =265kPa 解：由压强公式可得 p0=ρ =ρ

H g g(h4-h3)-

?Hog(h2-h 3)+ρ

22H g g(h 2-h 1)-

?Hog (h-h1)

2H g g(h4-h3+h2-h1)-

?Hog(h2-h 3+h -h1)

=(13.6×103 kg / m3) (9.81 m / s2) (1.8 m-0.7 m+2.0 m-0.9m) -(103 kg/m3) (9.81 m/s2) (2.0m-0.7m+2.5m-0.9 m) = 265 kPa

BP3.6.8 图BP3.6.8为装液体的密封容器，上部气压表读数为p0 = 27457 Pa。在侧壁B点处

装U形水银测压计（左支管内充满容器内液体），（1）若容器内装的是水，并已知h1= 0.3m，h3= 0.2m，试求容器内液面高hB；（2）若容器内装的是未知密度的液体，在A点处再装一个U形水银测压计，已知h2 = 0.25 m，两U形管左支管水银面高度差H = 0.68m，试求液体密度ρ。 提示：（2）利用两根U形管右支管水银面上大气压强相等的条件，求解液体密度。 答：hb =1.08m；ρ= 103kg/m3 解：（1）设B点与U形管左支水银液面的垂直距离为h3，由1-1为等压面可得： p0??H2Og(hB?h3)??Hggh1

?Hggh1?p0?h3 hB??HOg2 ?(13.6?103kg/m3)(9.81m/s2)(0.3m)?(27457kg/ms2)(1000kg/m3)(9.81m/s2)?0.2m

=1.28 m-0.2 m =1.08 m

(2) 忽略高度对大气压的影响，由1-1和2-2两个等压面及压强公式可得 ρHg gh2+ρg H=ρHg g h1，H = 0.68m，h2= 0.25m

h?h20.3m-0.25m ???Hg1?(13.6?103kg/m3)?1000kg/m3

H0.68mBP3.6.9 图BP3.6.9为带顶杯的差压计，当Δp = p1-p2 = 812 Pa时，A、B杯中的液面处同

一高度，设ρ1= 880 kg/m3, ρ2 = 2950 kg/m3，试求U形管内液位差h。 提示：设液面2与液面0的距离为h ，在1-1等压面上用压强公式求解。 答：h=0.04m

解：设液面2离液面O的距离为h1，由1-1为等压面 p1+ρ1g (h1+h) = p2+ρ1gh1+ρ2gh

p1?p2812N/m2??0.04m h?(?2??1)g(2950kg/m2?880kg/m2)(9.81m/s2)BP3.6.10 在图BP3.6.9中当Δp = p1-p2增大后，A杯液面下降Δh，B杯液面上升Δh，U形

管内液位差为h = 0.06 m（如图BP3.6.10示），设A、B杯直径为d1= 4 cm，U形管直径d2 = 4mm，求此时的Δp。

提示：液位改变时，利用杯内与U形管内液体体积变化相等（不可压缩）计算Δh，再用等压面和压强公式求解Δp。

答：Δp=1222Pa

解：由体积守恒：πd12Δh=πd22 (h-h0)，h0= 0.04m为U形管原来的液位差。

2d2-4 ?h?2(h?h0)?0.01(0.06m?0.04m)?2?10m

d1 由U形管低液面列等压面方程， p1+ρ1g (hA+h) = p2+ρ1g hB+ρ2g h

Δp = p1-p2=ρ1g (hB-hA) + (ρ2-ρ1) g h =ρ1g (2Δh) + (ρ2-ρ1) g h

- = (880 kg/m3) (9.81 m/s2) (2×2×10 4m) + (2950 kg / m3-880 kg/m3)(9.81m/s)(0.06m) = (3.453 kg/ms2) + (1218.4 kg / ms2) =1221.9 Pa

B4题解

BP4.2.1 在直径为d1 = 20 cm的输油管中，石油的流速为V1 = 2 m/s，试求在串联的直径为

d2 = 5 cm的输油管中的流速及质量流量，已知石油的比重为0.85。

?=53.4kg/s 答：V2=32m/s，m解：由不可压缩性流体连续性方程：（VA）1=（VA）2，所求流速和质流量分别为

V2?V1A1d0.22?(1)2V1?()(2m/s)?32m/s A2d20.05????V1A1??V2A2?(0.85?103kg/m3)(32m/s)()(0.05m)2?53.4kg/s m4BP4.2.2 气体在一扩张管道中流动（图BP4.2.2），管道喉部直径为d1= 2.47 cm，气流速度

为V1= 244 m/s，压强p1= 734 kPa，温度T1=320 K；管道出口直径为d2 = 3.57 cm，压强p2 = 954 kPa，温度T2 = 345 K，试求出口速度V2 。

提示：按完全气体方程求密度比ρ1/ρ2，再由不可压缩流体连续性方程求解V2。 答：V2=96.9 m/s

解：由气体状态方程 p = ρRT， 可得 ρ1 /ρ2 = p1T2 / p2T1 由一维可压缩流体连续性方程 (ρVA)1= (ρVA)2，可得

V2?

ρ1V1A1p1T2A1pTd?V1?12(1)2V1ρ2A2p2T1A2p2T1d2(734kPa)(345K)2.47cm2()(244m/s)?96.9m/s(954kPa)(320K)3.57cm

?BP4.2.3 图BP4.2.3示一连有多个管道的水箱，管道1、2为进水管，3、4为出水管。d1 = 2.5

cm，d2 = 5 cm，d3 = 3.75 cm，d4 = 10 cm，若管1、2、3的流速均为15 m/s，试求通过管4的流量和流速。

提示：按具有多个出入口的连续性方程求解。 答：Q2=0.02 m3/s，V4=2.55 m/s

解：取包围水箱的控制体CV。水为不可压缩流体，由具有多个出入口的控制面连续

性方程

?Qin??Qout

本题中为 Q1+Q2 = Q3+Q4

Q4?Q1?Q2?Q3 ?V1A1?V2A2?V3A3

??4(d?d?d)V[(2.5?10-2m)2?(5?10?2m)2212223

?? 4 ?(3.75?10-2m)2](15m/s)?0.02m3/sQ44Q44(0.02m3/s)???2.55m/s V4?22A4?d4?(0.1m)BP4.2.4 一三臂洒水器的三个臂尺寸相同，直径为d = 6 mm，臂长（回转半径）R = 150 mm，

方位均布，喷管口倾斜角θ= 0°（出流与回转半径垂直）（图BP4.2.4）。从中心轴

流入的水流量恒定Q = 70 l/min ，设洒水器在水流反作用下以ω= 91.6 rad/s的角速度沿逆时针旋转，试求每个喷口水流的绝对速度V。

提示：取与喷管一起旋转的控制体，用连续性方程求解相对速度，再计算绝对速度。 答：V≈0

解： 取包围喷管并与喷管一起旋转的控制体CV。对站在控制体上的观察者，水以

速度Vr沿三支喷管作定常流动，由运动控制体连续性方程

?(?VA)rout??(?VrA)in

即 ρ1Vr1A1+ρ2Vr2A2+ρ3Vr3A3=ρQ

由于水为不可压缩流体ρ1=ρ2=ρ3=ρ， A1= A2 = A3＝A，Vr1 = Vr2 = Vr3= Vr 即 3VrA = Q,

Q4Q4(70?10-3m3/min)???13.75m/s Vr?2-323A3?d3π(6?10)(60s/min) 喷管相对速度为 U = ωR = (91.6 rad/s) (0.15 m) =13.74m/s

水流绝对速度为 V = Vr-U = 13.75 m/s- 13.74 m/s ≈ 0

BP4.2.5 河水以均流速度U流入一矩形截面的明渠，渠宽为2b，河水深度保持为h，在图

BP4.2.5中所示坐标系中，设在明渠下游某截面上水流速度分布为

x2y2 u?um(1-2)(1-2)

bh试求中心最大速度um与均流速度U的关系。

提示：沿流道及已知速度分布的截面构成控制体，不可压缩流体定常流积分形式的连续

性方程为

?Aout(v?n)dA??(v?n)dA?0

Ain 答：um= 9U/4

解：由不可压缩流体积分形式的连续性方程可得

?Ain(v?n)dA???Aout(v?n)dA

本题中v和n不是方向相反（入口）就是方向相同（出口），因此可积分得

2bhU??

h0x2y2x3byu(1?)(1?)dxdy?u(x?)(y-)m?-bmb2h23b2-b3h20bhbbh8?um(b??b?)(h?)?bhum33399um?U4

BP4.2.6 某系统中不可压缩非牛顿流体以线性速度分布u?u0(1?2|y|/b)流入二维平行

平板水槽内，式中u0为x轴上最大速度，b为槽高度（图BP4.2.6）。在图示坐标系中设在槽下游某截面上流体速度分布改变为u = um cos (πy/b)，试求u m与u 0的关系式。

提示：用不可压缩流体定常流积分形式的连续性方程（厚度为1）求解：