?Aout(v?n)dA??(v?n)dA?0

Ain 答：um?πum/4

解： 由不可压缩流体积分形式的连续性方程（取宽度为1）

?Ain(v?n)dA??(v?n)dA?0

Aout

?Ain(v?n)dA??2?u0(1?b202yybbb)dy??2u0(y?)??2u0(?)??u0 bb0242b2b-22b2

?Aout(v?n)dA??umcos(?by)dy?bum?2bsin(y)?um ?b?b?2b2 由?b2b?u0?um?0，可得um?u0

42?BP4.3.1 在大气中一股空气射流以速度V吹到一与之垂直的壁面上（见图BP4.3.1示），壁

面上的测压孔与U形管水银计相通。设测压计读数Δh = 3.5 mmHg，空气密度ρ=1.293 kg / m3，试求空气射流的速度V。 提示：U形管测到的是射流总压强。

答：V =26.9 m/s

解：U形管测压计测到的是总压强，按伯努利方程有

p0?p?1?V2 2 水银液位差Δh相应于流体动压强 p0?p?1?V2??mg?h 2V?(2?m?gΔh)1/22(13.6?103kg/m3)2-31/2?[(9.81m/s)(3.5?10)]?26.9m/s 31.293kg/mBP4.3.2 一梯形薄壁堰如图BP4.3.2所示，底宽为b，两侧边倾斜角均为θ，水面高恒为h，

试求水流的体积流量Q。

提示：本题与三角堰流量计属同一类型，设法利用三角堰的结果可简化计算 答：Q?242gh3/2(b?htan?) 3582g(tan?)h5/2 1522gzbdz?2gbz3/23h0解：左右两块三角形正好拼成孔口角为2θ的三角堰，按例B4.3.1B Q1? 矩形部分流量为 Q2? 总流量为

?h0?22gbh3/2 3 Q?Q1?Q2?82242g(tan?)h5/2?2gbh3/2?2gh3/2(b?htan?) 15335BP4.3.3 为测量水管中的流速，在管壁和轴线上安装U形管测压计如图所示。水管直径d =

50 cm，U形管内液体的密度为ρ1= 800 kg/m3，液位差为Δh =30 cm，试求轴线上的速度V。

提示：本题是另一种形式的毕托测速管装置，U形管内的工作液体比水轻。 答：V =1.08 m/s

解：沿轴线列伯努利方程，O点为驻点 p0?p?1?V2，V?[2(p0?p)/?]1/2 (a) 2 设U形管中左、右液面为2、3，左液面离管壁距离为b，由静力学关系轴心压

强为

p?p2??g(b?d/2)?p3??1g?h??g(b?d/2) p0?p3??g(?h?b?d/2)

p0?p?(???1)g?h 代入（a）式可得

1/21/2??? V??(1?1)2g?h????800????(1?)2(9.81m/s2)(0.3m)?1000???1.08m/s

BP4.3.4 集流器通过离心式风机从大气中吸取空气，在d = 200 mm的流通管壁上接单管测

压计到一水槽内，如图所示。若水面上升高度为 h = 250 mm ，试求集流器中的空气流量Q，空气密度为ρ=1.29 kg/m3。

提示：取无穷远处为一参考点；集流器壁测压管口的压强为负压强。 答：Q =1.94 m/s

解：取无穷远处为参考点列伯努利方程，且对静止大气 V∞= 0, p∞= 0

3

V?2p?V2p????0,V??2p/?

2g?g2g?g 设水的密度为ρ1，单管测压计测得p = -ρ1g h V?2gh?1/??2(9.81m/s2)(0.25m)(1000/1.29)?61.7m/s

Q?VA?V?4d2?(61.7m/s)π(0.2m)2?1.94m3/s 4BP4.3.5 图BP4.3.5示一虹吸管将贮水池A的水吸出，流入下方的贮水池B。虹吸管直径

为6.8 cm，A池水面离管出口垂直距离为H = 3m，虹吸管最高处C点与A池水面的垂直距离为h = 3 m，不计流动损失，试求（1）虹吸管中的体积流量Q（m3/h）；（2）最高处C的压强（m H2O）；(3)若将虹吸管出口延伸至B池水中，试讨论管内流量应由什么因素决定？以上计算对已知条件是否有限制？

提示：（3）将虹吸管出口延伸到池水中后，取两池的水面为参考位置列伯努利方程；限

制条件可考虑保证管内流动连续的条件。

答：Q =100 m3/h，pc=-6 mH2O 解：（1）对①，②截面列伯努利方程

V12p1V22p?z1???z2?2 2g?g2g?g

由V1= 0，p1 = p2 = 0， V2?2g(z1?z2)?2gH?2(9.81m/s2)(3m)?7.67m/s

Q?V2A?(7.67m/s)π(0.068m)2?0.028m3/s?100.3m3/h 4 （2）对②，③截面列伯努利方程

V32p3V22p?z3???z2?2 2g?g2g?g 由V2 = V3，p2 = 0,

p3?z2?z1??(h?H)??6m ?g（3）当虹吸管伸入B池水中后管内流量由两池液位差决定；限制条件是 h + H ≤10 m

BP4.3.6 图示一大水池水深h = 5m，池底有一根排水管长l = 10 m，出口处装有闸门。放水

前水池中的水保持平静，闸门突然打开后，水池水位逐渐下降，试求出水口的流速随时间变化的规律（不计流动损失）。 提示：本题为一维定常流，取大水池液面和排水管出口为参考位置列不定常伯努利方程。 答：V = 9.9tanh (0.495t)

解：对①，②截面列不定常流伯努利方程

V12p1V22p1?z1???z2?2? 2g?g2g?gg?V?0?tdsl （a）

排水管内速度V2沿l不变，积分项可得

?VdV2 ds?l?0?tdtlV22dV?l2?g(z1?z2)?gh 由V1= 0，p1 = p2 = 0，由（a）式2dt或

dV2dt ?2gh?V222l 积分得

1Vttanh?1(2)??C （b）

2l2gh2gh-

当t = 0时V2 = 0, tanh 10 = 0, C= 0；

2gh?2(9.81m/s2)(5m)?9.9m/s

2gh9.9m/s??0.495s-1，由（b）式可得 2l2?10m2ghtanh(2ght)?9.9tanh(0.495t) 2l V2?BP4.4.1 有多个出入口的密封贮水容器如图所示，各出入口的流量与平均速度分别为Q1 =

19.8 l/s，V1= 45.7 m/s；Q 2 =28.3 l/s，V2=18.3 m/s；Q 3 =31.2 l/s，V3=30.5 m/s；Q4= 22.7 l/s，V4= 36.6 m/s。试求使该容器保持静止所需加的力F 。

提示：取包围贮水器的控制体，所求之力F为作用在控制体上的外合力，用具有多个

出入口的动量方程求解。

答：Fx= 829.3 N，Fy= 130.1 N

解：取包围容器的控制体CV, 建立y轴垂直向上的坐标系oxy由动量方程

?V)?(mout?V)in?F ??(m x方向分量式为

(??Q2V2sin45???Q4V4sin60?)?(??Q3V3cos60?)?Fx

因ρQ1=（103 kg/m3）(19.8×10 – 3 m3/s) = 19.8 kg/s, ρQ2=28.3 kg/s, ρQ3=31.2 kg/s, ρQ4=22.7 kg/s

Fx = (-28.3 kg/s) (18.3 m/s) 0.707 + (22.7kg/s) (36.6m/s)0.866 + (31.2kg/s)

?(30.5m/s) 0.5 = -366.1N + 719.5 N + 475.8 N = 829.3 N

y方向分量式为

(??Q2V2cos45???Q4V4cos60?)?(??Q1V1??Q3V3sin60?)?Fy Fy = (-28.3 kg/s) (18.3 m/s) 0.707 + (22.7kg/s) (36.6m/s)0.5 + (19.8kg/s) (45.7m/s) -(31.2 kg/s) (30.5 m/s) 0.866 = -366.1N + 415.4 N + 904.9N -824.1 N =

130.1N

BP4.4.2 图示为人腹主动脉示意图，血液从腹主动脉1流入右左髂总动脉2、3。已知血管

直径为d1=1.764 cm，d2 = 1.18 cm，d3 = 1.173 cm；平均流量与流速为Q1 = 5 cm3/s；V1= 2 cm/s； Q 2 = 2.52 cm3/s, V2 = 2.3 cm/s; Q3 = 2.48 cm3/s, V3 =2.29 cm/s；右左分叉角为α

2 =27.8°，α3 =33.4°。试求血流对腹主动脉的冲击力（不考虑压强影

响），血液密度为ρ=1055 kg/m3。

提示：取包围血管的控制体，所求之力F为作用在控制体上的外合力的负值，用具有

多个出入口的动量方程求解。

答：Fx?4.5?10N,?6Fy?1.4?10?6N

解：取包围血管的控制体CV，设血流冲击力F如图示，忽略重力，不考虑压强影响、

由动量方程式

?v)?(mout?v)in??F ??(m 在坐标系oxy中分量式为

x方向：?Q2V2sin?2??Q3V3sin?3??Fx

--

Fx= -(1055 kg/m3) (2.52×10 6 m3/s) (2.3×102 m/s) (0.4664) + + (1055 kg/m3) (2.48×10 6 m3/s) (2.29×10 –2 m/s)

-

(0.55) = (-2.85 + 3.3)×10 –5 N = 4.5×10 –6 N

y方向：ρQ2V2 cos?1+ ρQ3 V3 cos?2-ρQ1V1= - Fy

Fy??(1055kg/m3)(2.52?10-6m3/s)(2.3?10-2m/s)(0.8846)?

?(1055kg/m3)(2.48?10-6m3/s)(2.29?10-2m/s)(0.835)??(1055kg/m)(5?10m/s)(2?10m/s)?(?5.41?5.0)?10.55)?10-5N?1.4?10-6N3-63-2

BP4.4.3 图示一90°转角收缩弯管，水从直径为d1 = 15 cm的大管流入弯管，流速为V1=2.5

m/s，压强为p1= 6.86×104 Pa ，再流入直径为d2 = 7.5 cm的小管，试求为保持弯管静止的力F。

提示：取包围弯曲喷管的控制体，作用在控制体上的外合力除所求之力F外，还应包

括两端的压强合力。

答：Fx?538.0N,Fy?1322.7N

解：由不可压缩流体连续性方程V1A1 = V2A2，可得 V2?A1d15V1?(1)2V1?()2(2.5m/s)?10m/s A2d27.5V12p1V22p???2，可得 由伯努利方程（忽略重力）

2g?g2g?g

V12?V22p2???p12?(2.5?10222

m2/s2)(103kg/m3)?(6.86?104N/m2)?21725N/m2(0.15m)2?0.01767m2 (0.075m)2?0.00442m2

A1? A2??4d12?2d2??4??44 Q = V1A1=（2.5 m/s）(0.01767m2) = 0.0442 m3/s

取包围喷管的控制体CV，由一维流动动量方程

?(V2?V1)? m?F， (?F包含压强影响)