x方向动量方程为

ρQ（V2-0）= Fx- p2 A2

Fx = ρQV2 + p2 A2

= (103 kg/m3) (0.0442 m3/s) (10 m/s) + (21725 N/m2) (0.00442 m2 )

= 442 N + 96.0 N = 538.0 N y方向动量方程为

ρQ（0 -V1）= -Fy+ p1A1

Fy =ρQV1 + p1A1

= (103 kg/m3) (0.0442 m3/s) (2.5 m/s)+ (6.86×104N/m2) (0.01767 m2)

= 110.5 N +1212.2 N = 1322.7 N

BP4.4.4 在明渠平面定常流动中，有一由平面闸门控制的泄水孔道如图所示。闸门上游水

深为 h1 = 6m，下游水深为h2 = 1.2 m，上游平均流速为V1= 0.6 m/s ，若忽略渠底和渠壁摩擦力，试求水流对单位宽度闸门的水平作用力F 。

提示：取包围闸门及泄水孔道的控制体，作用在控制体上的外合力除 -Fx外，还应包括

上下游的压强合力。

答：F = 160.9 kN

解：在远离闸门的上下游h1和h2处取控制面，由连续性方程

V2?h16V1?(0.6m/s?)3m/ sh21.2 作用在控制体上的外力除一F外还有静压强合力。由流动方向的定常流动动量方

程

ρQ（V2-V1）= -F+

?h1pdA??pdA

h2 单位宽度渠道截面上的流量 Q = h1V1 = (6m) (1 m) (0.6m/s)=3.6 m3/ s 上下游单位宽度渠道截面上压强合力分别为

?h12p1dA??gh12/2，?p2dA??gh2/2

h2 F=ρQ (V1- V2)+ρg (h12 - h22) /2

= (103kg/m3) (3.6 m3/s) (0.6 m/s－3m/s)

+ (103 kg/m3) (9.81m/s2) [(6m)2 -(1.2m)2]/2

= -8.64×10 3 N+169.5×10 3 N = 160.9 kN

BP4.4.5 一块尖缘导流板插入一股厚度为h的平面水流柱中，将一部分水流引到板上，另

一部分水流折射为α角的自由射流。α角与阻挡部分占水柱厚度h 的比例k ( 0≤ k ≤0.5 )有关，忽略重力和粘性力影响，试求（1）α角与k的关系；（2）射流对单位宽度导流板的作用力F。

提示：取包围三支射流的控制体，利用连续性方程及y方向的动量方程求解α角与k的

关系；利用x方向的动量方程求解导流板对射流的反作用力。

答：??sin?1(k)， F??V2h(1-1-2k) 1-k解：沿流线的伯努利方程：

V12p1V22p2V2p????? 2?2?2? 因p1 = p2 = p，V1 = V2 = V

取包围三股水流的控制体CV，自由射流和板上流柱厚度分别为h1和h2

连续性方程为

V1 h1+V2 h2 = V h，h1+h2 = h

已知h2 = kh，则h1 = (1-k)h，相应的流量为 Q1=V（1- k）h， Q 2 = V k h， Q = V h 在图示坐标系中，由y方向动量方程

ρV（1- k）h V sin?+ρV k h (-V) = 0

可得 sin?? 由x方向动量方程

ρV（1- k）h Vcos?-ρV h V = -F

可得

k 1-kF??V2h[1?(1?k)cos?]??V2h[1?(1?k)1?sin2?]??Vh[1?(1?k)1?[k/(1?k)]??Vh(1?1?2k)222

BP4.4.6 一股厚度为h = 2 cm的平面水流以速度V = 10 m/s 冲击到对称的后弯曲二维导流

片上，流出导流片时速度与水平线夹角为α= 30°试求下面两种情况射流对单位宽度导流片的作用力F和F?：（1）导流片固定（U = 0）；（2）导流片以U = 5 m/s速度后退。

提示：（1）先建立固定控制体（包围三支射流）和坐标系，然后用与BP4.17类似的方

法求解；（2）将坐标系固结在导流片上一起运动，用相对速度求解。

答：F?3.73kN，F??0.93kN

解：（1）建立包围入流和两股出流的控制体，及入流方向为x轴的坐标系。由于射流

处于大气压环境中，沿流线速度不变 V1 = V2 = V 。由连续性方程及对称性 h1 = h2 = 0.5h。

设作用力沿x轴方向（由对称性，垂直方向合力为零），由x方向的动量方程 2ρV（0.5h）(-V )cos30°-ρVhV= -F

F =ρV 2h (1+cos30°) = (10 3 kg/m3) (10 m/s)2 (0.02 m) (1+0.866) =3.73 kN

(2) 在匀速运动控制体动量方程中Vr = V-U = (10 m/s) - (5 m/s) = 5m/s F =ρVrh (1 + cos30°) = (3.73 kN) (5/10)2 = 0.93 kN

BP4.4.8 空气均流对一二维圆柱作定常绕流，在圆柱后部形成正弦函数速度分布，如图所

2示。已知均流速度为U = 30 m/s， 圆柱直径d = 2 cm，速度分布式为

u?Usin(?|y|4d（?2d?y?2d）。试求作用在单位宽度圆柱上的力F（空气)，

密度ρ=1.2 kg/m3）。

提示：取入口（AB），出口（CD）截面和边线包围的控制体ABCD，由于出入口流量

?AD，再用动不相等，有一部分流量从两侧流出。先用连续性方程求侧面流量2m量方程（三面流出，一面流入）求作用力。

答：F＝11.8N

解：取图示矩形ABCD为控制体CV和坐标系oxy。 （1）由连续性方程（单位宽度上）

??mout?in ??m??mout?AD?m?DC?m?BC?m?DC?2m?AD ?m2d2d?DC?2??udy?2?U?sin(m00?y4d8)dy

??2?U

4d?cos(?y4d2d)0???Ud??min?AB?4?Ud ?m?AD?m?AB?m?DC?4?Ud? 2m?Ud?(4?)?Ud

??88 （2）由x方向动量方程（单位宽度上）

?ADU??U24d??F2??u2dy?2m02dF?4?U2d?2??U2sin2(02d?y

4d?84d1?y1?y2d??U2d?2?U2[?sin()]0 ??24d42d88?8??U2d??U2d??(?2)?U2d??4??(0.546)(1.2kg/m3)(30m/s)2(0.02m)(1m)?11.8N8)dy?(4?)?U2dBP4.4.9 空气均流以速度U = 1 m/s深入半径为R = 1.5 cm的圆管，深入到离出入口距离为

l时，形成抛物线形速度分布u = um (1- r 2 / R 2 )。若测得入口与l 截面上的压强差为p1 - p2 = 2 N/m2 ，试求管壁对空气的摩擦阻力F（空气密度ρ=1.23kg/m3）。 提示：取①、②截面及管壁所围的控制体及坐标系x r， 动量方程中的合外力包括F和

压强合力。

答：F =1.13×10-3N

解：取包围截面①和②及管壁的控制体CV，及坐标系xr 。设管壁对空气的摩擦阻

力F沿-x方向，

由x方向动量方程

?R0?(u2?U2)2?rdr?(p1?p2)?R2?F

22mRr22F?(p1?p2)?R?2??u?(1?2)rdr??U2?R20RRr3r5222?(p1?p2??U)?R?2??um?(r?22?4)dr0RR

2r4r6222r?(p1?p2??U)?R?8??U(?2?4)22R6R0R

?(p1?p2??U2)?R2?8??U212R?(p1?p2?0.33?U2)?R26?[2N/m2?0.33(1.23kg/m3)(1m/s)2]?(0.015m)2?1.13?10-3N (计算中用到um= 2U )

BP4.5.1 一股薄的平面射流射向倾斜角为θ=30°的平壁，如图所示。设射流的速度为V =

50 m/s，厚度h = 2 cm，不计重力和粘性力影响，试求（1）在平壁上的分流厚度h1, h2; (2)平壁所受的水流冲击力F及作用点D的位置e，并讨论θ角对二者的影响。

提示：可采用如下步骤（1）建立包含射流（一个入射流，二个出射流）的控制体及坐

标系；（2）用伯努利方程确定出口速度，用连续性方程和动量方程求分流厚度和冲击力；（3）用动量矩方程求作用点位置；两股出流的平均动量矢量位于射流厚度中点，动量和外力均对O点取矩；（4）在动量和动量矩方程中均应注意合外力和合外力矩的方向（正负号）。

答：h1= 1.866cm，h2 =0.134cm，F= 25kN，e = 1.732 cm

解：（1）由伯努利方程，截面1和截面2均为大气压强，流速与入射流相同V1=V2=V。 取包围三支射流的控制体CV，沿平板流向截面1的方向为x轴，y轴背离

平板。

由多个出入口连续性方程

V1h1+V2h = V h

h1 + h2 = h (1) 不计粘性力，水流冲击力沿 -y方向，如图示；x方向合力为零。

由x方向动量方程

（ρh1V 2 –ρhV ）-ρhV cosθ= 0

2

2

h1-h2 = hcosθ (2)

由（1），（2）式可得

1?cos?1?cos30?h1?h?(2cm)?1.866cm22

?1-cos?1-cos30h2?h?(2cm)?0.134cm22 （2）由y方向动量方程

0 -（-ρhV 2sinθ）= F

F??hV2sin??(103kg/m3)(0.02m)(50m/s)2sin30??2.5?104N

由对O点的动量矩方程

?cs?(r?v)(v?n)dA??M0

设合力作用点离O点的距离为e, 在三支射流中平均动量矢量取在截面中

心线上，动量矩与力矩以逆时针方向为正

??h1V211h1??h2V2h2??Fe??(?hV2sin?)e 222h12?h2(h1?h2)(h1?h2)h2cosθe???2hsin?2hsin?2hsinθ

h?cot??(1cm)cot30??1.732cm2BP4.5.2 一混流式离心泵如图BE4.5.1所示。入口直径为 d1= 40 cm，出口直径为d2 = 1m，

叶轮宽b = 15 cm，叶轮转速n = 6000r/min。设水泵的流量为Q = 2.5 m3/s，试求（1）

?。 输入叶轮的转矩Ts；(2) 输入的轴功率Ws?＝246.7MW 答：Ts?392.7kN?m，Ws解：如图B4.5.1示取包围整个叶轮的固定控制体CV，忽略体积力和表面力，流动为

定常的。

?1?m?2??Q?(10kg/m)(2.5m/s)?2.5?10kg/s 由连续性方程 m 叶轮角速度 ω=2πn /60 =2π×6000 /（60 s）=200π rad/s 流体出口切向速度 Vθ2 = ωd2 / 2 = (200πrad/s) (1m)/2 = 100πm/s Vθ1= 0，由欧拉涡轮机方程

3333??Ts?(r2V?2?r1V?1)md2?V?2m 2 ?(0.5m)(100πm/s)(2.5?103kg/s)?392.7kN?m??T??(392.7?103N?m)(200?rad/s)?246.7MW Wss