B5题解
BP5.2.1 不可压缩粘性流体在水平圆管中作定常流动时，已知流量Q与直径d，比压降G
（单位长度上的压强降Δp/l）及流体粘度μ有关。试用量纲分析法确定Q与这些物理量的关系式。 答：Q = kGd 4 /μ
解：物理量关系式： Q = φ（d，G，μ） 设Π数量纲幂次式为
- ---Π= d a G bμc Q = L a（ML2 T –2 ）b (ML 1T 1) c (L3 T 1)
?a??4? 指数齐次方程 L:a-2b-c?3?0?b??1
T:?2b?c?1?0??c?1得
Π?M:b?c?0Qμ?k Gd4 Q表达式为 Q = k G d 4/μ BP5.2.2 一股直径为D，速度为V的液体束从喷雾器小孔中喷射出后在空气中破碎成许多
小液滴。设液滴的直径d除了与D，V有关，还与流体密度ρ、粘度μ和表面张力系数?有关，试选择ρ，V，D为基本量，推导液滴直径d与其他物理量的关系式。 答：d = Df (?/?VD，?/?VD)
解：物理量关系式 d = φ(ρ, V，D，μ，ζ)
选择ρ、V、D为基本量，显然 П1= d / D
-－- П2=ρaV bD cμ= ( ML3) a ( LT 1 ) bL c ( ML1T –1 )
2?a??1?1? L:?3a?b?c?1?0?b??1 Π2? ??VdRe?c??1T:?b?1?0? П3 =ρa V bD cζ= (M L 3 ) a (L T 1) bLc ( M T –2 )
--
M:a?1?0?a??1?1? L:?3a?b?c?0?b??2 Π3? ?2We?VD?c??1T:?b?2?0? 新关系式为
M:a?1?0d?f(Re,We)或d = D f (μ/ρV D，ζ/ρV 2D ) DBP5.2.3 不可压缩粘性流体沿尖缘光滑平板作无压差定常大Re数流动时，在壁面上形成从
尖缘开始发展的边界层。在以尖缘为原点，沿平板流动方向为x轴的坐标系中边界层厚度δ与来流速度U，流体密度ρ，粘度μ及平板上位置坐标x有关，试用量纲分析法求δ与其他物理量的关系式（取ρ,V, x为基本量）。
答：δ= x f (μ/ρUx)
解：物理关系式 δ= f(ρ,U,x,μ)
选ρ,U,x为基本量，显然
Π1??x
abc?3a?1bc?1?1 设 Π2??Ux??(ML)(LT)L(MLT)
?? L:?3a?b?c?1?0??T:?b?1?0? 得 Π2? 新关系式为
M:a?1?0a??1b??1 c??1?1 Rex??Ux?x?f(Rex) 或 ??xf(??Ux)
BP5.2.4 当流体以一定速度对二维圆柱作定常绕流时，在圆柱顶部和底部交替释放出涡旋，
在圆柱后部形成卡门涡旋。设旋涡释放频率f与圆柱直径d，流速V，流体密度ρ和粘度μ有关。选择ρ，V，d为基本量，用量纲分析法推导f与其他物理量的关系式。 答：f?Vf(?/?Vd) d解：物理关系式 f =Ф (ρ,V,d,μ) 取ρ,V, d为基本量
-- Π1 =ρaV bd c f = (ML3 ) a(LT 1) b L c T –1
?a?0fd? L:?3a?b?c?0?b??1 Π1??Sr
V?c?1T:?b?1?0? Π2 = ρa V bd cμ= (ML 3) a (LT 1) bL c (ML1T –1 )
---
M:a?0?a??1?? L:?3a?b?c?1?0?b??1 Π2??1/Re
?Vd?c??1T:?b?1?0? 新关系式为Sr?M:a?1?0fdV?f(Re)或f?f(?/?Vd) VdBP5.2.5 水流过宽为w的宽顶堰，堰上水头高为H（图BP5.2.5），单位长度的堰长上通过
2
的流量为q (m/s)。设q = f (H，w，g，ρ，μ)，式中g为重力加速度，ρ、μ为水的密度与粘度，试选用ρ，g，w 为基本量导出Π数方程式。 答：q / w 3/2g= ??( H/w，μ/ρw3/ 2g) 解：物理关系式 q = f (H, w, g ,ρμ) 选w, g,ρ为基本量
设 Π1??gwq?(ML)(LTabc?3a?2b)Lc(L2T?1)
?? L:?3a?b?c?2?0??T:?2b?1?0?得 Π1? 显然 Π2?M:a?0a?0b??1/2 c??3/2q 3/2gwH w 设 Π3??agbwc??(ML?3)a(LT?2)bLc(ML?1T?1)
?? L:?3a?b?c?1?0??T:?2b?1?0? 得 Π3? Π关系式为
M:a?1?0a??1b??1/2 c??3/2??gw3/2
qw32g??(H?,) w?w3/2gBP5.2.6 直径为d，密度为ρ1的固体颗粒在密度为ρ，粘度为μ的液体中沉降，试用量纲
分析法推导沉降速度V与这些物理量之间的关系式（选择ρ，g，d为基本量）。
答：V?gdf(?1/?,?/?dgd)
解：物理量关系式 V =Ф (ρ, g, d,ρ1,μ) 选ρ，g，d为基本量
Π1 = ρa g bd c V= (ML3) a (LT –2 ) b L c（LT 1）
--
?a?0V? L:?3a?b?c?1?0?b??1/2 Π1?
gd?c??1/2T:?2b?1?0? 显然 Π2 = ρ1/ρ Π3 =ρag bd cμ= (ML3 ) a (LT –2 ) b L c（ML 1T 1）
---
M:a?0?a??1?1? L:?3a?b?c?1?0?b??1/2 Π3?～
Re?dgd?c??3/2T:?2b?1?0? 新关系式为
M:a?1?0Vgd?f(?1?,)或V?gdf(?1/?,?/?dgd) ??dgdBP5.2.7 在典型的不可压缩粘性流体的流动中，流体作用力F（如船舶螺旋桨推力，考虑
重力影响的不定常管流中的阻力等）与流体密度ρ，速度V，特征长度l，流体粘度μ，重力加速度g、压强差Δp，角速度（或脉动圆频率）ω七个物理量有关，试用量纲分析法推导相应的Π数方程式。
2
答：F/ρV2l 2 = f (μ/ρVl，gl/V2，Δp/ρV ,ωl/V)
解：物理关系式 F =φ（ρ，V，l，μ，g，Δp，ω） 选ρ，V，l为基本量，
设 ?1??VlF?(ML)(LTabc?3a?1b)Lc(MLT?2)
?? L:?3a?b?c?1?0??T:?b?2?0?得 Π1?abcM:a?1?0a??1b??2 c??2F?Ne 22?Vl?3a?1bc?1?1 设 Π2??Vl??(ML)(LT)L(MLT)
?? L:?3a?b?c?1?0??T:?b?1?0?得 Π2?M:a?1?0a??1b??1 c??1?1 ??VlRe 设 Π3??aVblcg?(ML?3)a(LT?1)bLc(LT?2)
?? L:?3a?b?c?1?0??T:?b?2?0?得 Π3?abcM:a?0a?0b??2 c?1gl1 ?22VFr?3a?1bc?1?2 设 Π4??Vl?p?(ML)(LT)L(MLT)
?? L:?3a?b?c?1?0??T:?b?2?0? 得 Π4?M:a?1?0a??1b??2c?0?p?Eu 2?V
abc?3a?1bc?1 设 Π5??Vl??(ML)(LT)LT
?? L:?3a?b?c?0??T:?b?1?0?得 Π5? Π数方程式为
M:a?0a?0b??1 c?1?lV?St
F/?Vl?f(?/?Vl,gl/V,?p/?V,?l/V)
BP5.2.8 设钝体在可压缩粘性流体中定常运动时，所受到的阻力FD与速度V，钝体特征尺
寸l，流体的密度ρ、粘度μ及弹性模量（考虑可压缩性）E有关。取ρ，V，l为基本量，（1）试用量纲分析法推导FD与其他物理量的关系式；（2）若流体为不可压缩时相应的Π数关系式将如何改变？ 提示：取ρ，V，l为基本量。
答：FD =ρV2 l2 f (μ/ρV l，E/ρV)， CD =Φ（Re）
2
2222解：（1）设FD =Ф（ρ，V，l，μ，E） 取ρ，V，l为基本量
Π1=ρa V bl cFb= (ML3 ) a (LT 1) b L c (MLT –2 )
--
?a??1FD??CD L:?3a?b?c?1?0?b??2 Π1?22?Vl?c??2T:?b?2?0? Π2=ρa V bLcμ= (ML3) a (LT 1) b L c (ML 1T –1 )
---
M:a?1?0?? L:?3a?b?c?1?0??T:?b?1?0?M:a?1?0?1b??1 ?2? ??VlRec??1a??1 ?3??aVblcE?(ML?3)a(LT?1)bLc(ML?1T?2)
?? L:?3a?b?c?1?0??T:?b?2?0? 新关系式
M:a?1?0Ec21b??2 ?3???
?V2V2Mac?0a??1CD?FD?f(Re,Ma)
?V2l22或 FD??Vlf(?/?Vl,E/?V)
（2）当流体不可压缩时E→∞，c →∞, Ma→0，与Ma数无关，上式变为 C D = f (Re)
BP5.2.9 泵类机械的特性参数包括质量能头gH（单位质量流体的能量差，又称能量落差或
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