大一上学期高数期末考试题 下载本文

大一上学期高数期末考试卷

一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. 设f(x)?cosx(x?sinx),则在x?0处有( ).

(A)f?(0)?2 (B)f?(0)?1(C)f?(0)?0 (D)f(x)不可导.

2. 设?(x)?1?x1?x,?(x)?3?33x,则当x?1时(  ).

(A)?(x)与?(x)是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B)?(x)与?(x)是等价无穷小;

(C)?(x)是比?(x)高阶的无穷小; (D)?(x)是比?(x)高阶的无穷小.

x3. 若

F(x)??0(2t?x)f(t)dt,其中f(x)在区间上(?1,1)二阶可导且

f?(x)?0,则( ).

(A)函数F(x)必在x?0处取得极大值; (B)函数F(x)必在x?0处取得极小值;

(C)函数F(x)在x?0处没有极值,但点(0,F(0))为曲线y?F(x)的拐点;(D)函数F(x)在x?0处没有极值,点(0,F(0))也不是曲线y?F(x)的拐点。4.

设f(x)是连续函数,且 f(x)?x?2?10f(t)dt , 则f(x)?(x2x2(A)2 (B)2?2(C)x?1 (D)x?2.

二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 25. lim(1?3x)sinxx?0? .

6. 已知cosxx是f(x)的一个原函数,则?f(x)?cosx . xdx???7.

nlim??n(cos2?n?cos22n???cos2n?1n?)? .

12?x2arcsinx?1 -11?x2dx?8.2 .

三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)

9. 设函数y?y(x)由方程

ex?y?sin(xy)?1确定,求y?(x)以及y?(0).

)

1?x7求?dx.7x(1?x)10.

?x?xe,  x?0 1?设f(x)?? 求?f(x)dx.?32??2x?x,0?x?111.

1012. 设函数f(x)连续,,且x?0g?(x)并讨论g?(x)在x?0处的连续性.

g(x)??f(xt)dtlimf(x)?Ax,A为常数. 求

1y(1)???xy?2y?xlnx9的解. 13. 求微分方程满足

四、 解答题(本大题10分)

14. 已知上半平面内一曲线y?y(x)(x?0),过点(0,1),且曲线上任一点

M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x?x0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分)

15. 过坐标原点作曲线y?lnx的切线,该切线与曲线y?lnx及x 轴围

成平面图形D.

(1) 求D的面积A;(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积

V.

六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)

16. 设函数f(x)在?0,1?上连续且单调递减,证明对任意的q?[0,1],

q1?f(x)dx?q?f(x)dx00.

??17. 设函数f(x)在?0,??上连续,且0x?f(x)dx?0,0?f(x)cosxdx?0.

证明:在?0,??内至少存在两个不同的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.(提

F(x)?示:设

?0f(x)dx)

解答

一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C

二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)

??1cosx2 ()?c6e35. . 6.2x.7. 2. 8..

三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 解:方程两边求导

x?y??)coxys(xy)(y? ) e(1?y??ex?y?ycos(xy)y?(x)??x?ye?xcos(xy)

x?0,y?0,y?(0)??1 77x6dx?du 10. 解:u?x  1(1?u)112原式??du??(?)du7u(1?u)7uu?1 1?(ln|u|?2ln|u?1|)?c7 12?ln|x7|?ln|1?x7|?C77

11. 解:?1?30f(x)dx??xedx???3?x100?x102x?x2dx

??xd(?e)???30?31?(x?1)2dx0?2?x?x2??(令x?1?sin?)??xe?e?????cos?d? 

4

12. 解:由f(0)?0,知g(0)?0。

x1xt?u???2e3?1

g(x)??f(xt)dt?0x?f(u)du0x (x?0)

g?(x)?xf(x)??f(u)duxx002 (x?0)

g?(0)?limx?0?f(u)dux2?limx?0xf(x)A? 2x2

?A?AA?22,g?(x)在x?0处连续。

limg?(x)?limx?0x?0xf(x)??f(u)dux02dy2?y?lnx13. 解:dxx

y?e???xdx2(?e?xdx2lnxdx?C)

11xlnx?x?Cx?29 3

111y(1)??C,?0y?xlnx?x39 9 ,

四、 解答题(本大题10分)