第12讲 与相交有关概念及平行线的判定
考点·方法·破译
1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.
2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、同旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.
3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.
经典·考题·赏析
【例1】如图，三条直线AB、CD、EF相交于点O，一共构成哪E A 几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】
⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.
⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两
C 边的反向延长线.
F ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角.
【变式题组】
C 01．如右图所示，直线AB、CD、EF相交于P、Q、R，则：
⑴∠ARC的对顶角是 . 邻补角
P 是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； Q A 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. F 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.
【例２】如图所示，点O是直线AB上一点，OE、OF分别平分∠BOC、 ∠AOC．
⑴求∠EOF的度数；
F ⑵写出∠BOE的余角及补角.
【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；
【解】⑴∵OE、OF平分∠BOC、∠AOC ∴∠EOC＝
1∠2BOC，∠FOC＝＝
111∠AOC ∴∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝∠BOC＋∠AOC222A O 1??BOC??AOC? 又∵∠BOC＋∠AOC＝180° ∴∠EOF＝1×180°＝2290° ⑵∠BOE的余角是：∠COF、∠AOF；∠BOE的补角是：∠AOE.
【变式题组】
01．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC＝100°，
则∠BOD的度数是（ ）
A．20° B． 40° C．50° D．80° D
E 4 1 D
3 2 A O B B
C 02．（杭州）
（第1题图） （第2题图）
已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .
E 【例３】如图，直线l1、l2相交于点O，A、B分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成下列作图： A ⑴经过点A画直线l2的垂线.
R B ⑵画出表示点B到直线l1的垂线
O 段. l2
D B 【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段.
l1 【变式题组】
01．P为直线l外一点，A、B、C是直线l上三点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离为（ ） C
E A．4cm B． 5cm C．不大于4cm D．不小于6cm
02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N为位于公路两侧的村庄；
B ⑴设汽车行驶到路AB上点P的位置时距离村庄M最近.行
驶到AB上点Q的位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路
03．如图，已知AB⊥BC于B，DB⊥EB于B，并且∠CBE︰∠ABD＝1︰2，请
作出∠CBE的对顶角，并求其度数. A
B D
A
E
⑵当汽车从A出发向B行驶的过程中，在 的路上距离M村越【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，来越近..在 并说出它们的名称： F C 的路上距离村庄N越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远. ∠1和∠2：
1 【例４】如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝
4 65°，求∠BOE和∠AOC的度数. ∠1和∠3：
E D 2 3 6 【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依 A B 5 据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF＝∠1和∠6：
D 90°，OF⊥AB． A B E O ∠2和∠6：
F C ∠2和∠4： 【变式题组】 ∠3和∠5： 01．如图，若EO⊥AB于O，直线CD过点O，∠EOD︰∠EOB＝1︰3，求∠AOC、∠3和∠4：
∠AOE的度数.
E A 【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：
首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的 C 直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确D O 02．如图，O为直线AB上一点，∠BOC＝3∠AOC，OC平分∠AOD． 定它们的名称. ⑴求∠AOC的度数；
B ⑵试说明OD与AB的位置关系.
D 【变式题组】 C E Ｇ 01．如图，平行直线AB、CD与相交直线
EF，GH相交，图中的同旁内角共有
A B
（ ）
A O B
C D
H F
上分别画出点P、Q的位置.
A．4对 B． 8对 C．12对 D．16对
02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.
5 3 2
4 1 乙
6 3 4 丙 A 1 3 5 1 2 3 4 7 8 2 1 6 5 甲
【变式题组】 01．如图，推理填空.
⑴∵∠A＝∠ （已知）
∴AC∥ED（ ） ⑵∵∠C＝∠ （已知）
∴AC∥ED（ ） ⑶∵∠A＝∠ （已知）
∴AB∥DF（ ）
02．如图，AD平分∠BAC，EF平分∠DEC，且∠1＝∠2，试说明DE与
AB的位置关系. 解：∵AD是∠BAC的平分线（已知）
∴∠BAC＝2∠1（角平分线定义） 又∵EF平分∠DEC（已知） ∴ （ ）
7 C
又∵∠1＝∠2（已知）
∴ （ ） D A 1 E 2 B C
03．如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）
2 A．∠1和∠2是同旁内角
4 B．∠3和∠4是内错角
C．∠5和∠6是同旁内角
6 B D．∠5和∠7是同旁内角
【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由? ⑴∠CBD＝∠ADB； A ⑵∠BCD＋∠ADC＝180° ⑶∠ACD＝∠BAC 【解法指导】图中有即即有同O 旁内
B
角，有“
”即有内错角.
D F
C
∴AB∥DE（ ）
03．如图，已知AE平分∠CAB，CE平分∠ACD．∠CAE＋∠ACE＝90°，求证：AB∥CD．
A E D C
【解法指导】⑴由∠CBD＝∠ADB，可推得AD∥BC；根据内错角相等，两直线平行.
⑵由∠BCD＋∠ADC＝180°，可推得AD∥A BC；根据同旁内角互补，两直线平行.
⑶由∠ACD＝∠BAC可推得AB∥DC；根据
F 内错角相等，两直线平行. E B
04．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BE平分∠ABC，
CD平分∠ACB，∠EBF＝∠EFB，求证：CD∥C EF.
A
D
B B
E D C F