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?lim2x22x?x?1?x?x?12x?1； 当x???时，

22x?x?1?x?x?12x??1； 当x???时，

22x?x?1?x?x?1故limx??x??，

?x2?x?1?x2?x?1?不存在

★2．计算下列极限：

（1）lim?1??n???111?1?2?3????n?1??2???n?；（2）lim； 2n??222?n33?n?1??n?2??n?3??n?2???2n?3?（3）lim；（4）lim。 n??n???n?1??2n?1??3n?2?5n3知识点：数列极限求法；

思路：（1）（2）需要先化简被求极限的式子，（3）（4）则利用有理分式极限的求法；

?1?1???1??11?2??2解：（1）lim?1??2???n??lim；

n??n??12??221?2(1?n?1)?n?1?11?2?3????n?1?2（2）lim?lim?； 2n??n??2nn2?n?1??n?2??n?3??1；

（3）limn??55n333?n?2???2n?3?93（4）lim??；

n???n?1??2n?1??3n?2?62★3．设

n?1?3x?2,x?0??f?x???x2?1,0?x?1，分别讨论x?0及x?1时f?x?的极限是否存在？

?21?x,??x知识点：分段点处函数的极限；左右极限； 思路：分段点函数的极限要左右极限分别求；

x?1)?1，lim(3解：当x?0时，lim(x?2)?2；故limf?x?不存在；

??2x?0x?0x?022x?1)?2，故limf?x??2； ?2，lim(x?1x?1?x?1x★4．已知limf?x??4及limg?x??1，limh?x??0，求：

当x?1时，lim?x?cg?x?h?x?；（2）lim；（3）lim?f?x??g?x??；（4）lim?f?x??h?x??

x?cf?x??g?x?x?cf?x?x?cx?cg?x?（5）lim x?ch?x?（1）limx?cx?c知识点：函数极限四则运算性质；

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思路：按性质求；

g?x?g?x?limx?c解：（1）lim??1；

4x?cf?x?limf?x?limh?x?h?x?x?c（2）lim??0；

x?cf?x??g?x?limf?x??limg?x?x?c?f?x??g?x???limf?x?limg?x??4；

x?cx?c（4）lim?f?x??h?x???limf?x?limh?x??0；

x?cx?cx?ch?x?g?x?h?x?limx?c??； （5）lim??0，而无穷小的倒数是无穷大，故

x?cg?x???hxlimg?x?x?c（3）limx?cx?cx?cx2?2x?k?4，求k的值； ★5．若limx?3x?3知识点：函数极限；

思路：分析求极限的过程，求出k的值；

x2?2x?kx2?3x?x?3?k?3k?3?lim?lim(x?1?) 解：limx?3x?3x?3x?3x?3x?3k?3lim(x?1?)?4，故必有k?3?0，即k??3； x?3x?32方法二：可由§1-8节无穷小比较来解：当x?3时，x?3?0；故此时必有x?2x?k?0， 故k??3；

?x2?1??★6．若lim??ax?b??0，求a，及b的值； x???x?1??知识点：同上；

?x?1??2x?ax?b?x?1?2x?ax?b x2?1?ax?b?解：

x?1x?1x?1x??1?a?x?2??1?b?，

x?1?x2?1?x?????ax?b?则由limlim[1?ax?2??1?b?]?0知，必有

?x??x???x?1x?1??21?a?0,?2?1?b?0，解得：a?1,b??1

习题1-7

★1．计算下列极限：

tan5xtanx?sinx1?cos2x；（2）limxcotx；（3）lim；（4）lim；

x?0x?0x?0x?0xxxsinxxsinx2arcsinxx?sinx（5）lim?；（6）lim；（7）lim；（8）lim；

x????xx?0x?0x?sinxx?03x1?cosx（1）lim知识点：两个重要极限；

思路：当函数用三角函数和幂函数表达时，可考虑变形成

的，可用下一节的等价无穷小代换来解更容易；

sin，其中

?0；但本题解法不是唯一

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tan5xsin5x1x（2）limxcotx?lim?lim??5?5；cosx?1；

x?0x?0x?0x?0sinxx5xcos5x?1?sinx??1?tanx?sinx?cosx??limsinx?lim?1?1??1?0?0

（3）lim?lim??x?0x?0x?0x?0xxx?cosx?1?cos2x2sin2xsinx?lim?lim2?2； （4）limx?0x?0x?0xsinxxsinxxxxx?lim??lim?2?2?2； （5）lim?x?0x?0x1?cosxx?02xsin2sin22sinxsin???t?sint（6）lim??x?tlim?lim?1；

x????xt?0t?0tt2arcsinx2t2（7）x?0?arcsinx?0，则limarcsinx?tlim?；

x?0t?03sint3x3sinxx1?1?limx?sinx1?1x?0sinxx?（8）lim?lim??0； x?0x?sinxx?0sinxx1?11?1?limx?0sinxx解：（1）lim★2．计算下列极限：

?1?x?（1）lim?1?x?；（2）lim?1?2x?；（3）lim??x?0x?0x???x?1x1x3x?1?；（4）lim?1??x???x?x1xkx?k?N?

?x?（5）lim??x??x?1??x?3?x?a?；（6）lim??x??x?a???0x；（7）limx?0?1?xe?；（8）lim11?xlnx?0x1?x知识点：重要极限：lim?1??1?1??e（或lim?1???e）

????思路：将函数表达式化成lim?1??0?n1?1??e（或lim?1???e），并利用指数函数运算性质

?????1（em?n?em?en,emn?em1x??）得出结果

11?(?1)?????x?x???lim?1???x????e?1； 解：（1）lim?1?x??lim??1???x??x?0x?0x?0????????11?2??x2x（2）lim?1?2x???lim?1?2x???e2；

x?0x?0????（3）lim??1?x??1??lim??1??x??x??x???x?kx3xx?3??1?x???lim?1????e3；

x?0???x?????x???k?3??1???1?1?????（4）lim?1???lim???x??x???x???x???e?k；

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?x?（5）lim??x??x?1??x?3?x?1?1??lim??x???x?1???1?x?x?3??1???lim?1??????x?????1?x?????1?x??x?3?x?1

???1????lim?1????x??1?x???????x????1?3/x?1?1/x?e?1；

x?a2ax?2ax?a2a??x?a???lim1?（6）lim??x????x??x?a???x?a?（7）lim?2a????lim?1??x???x?a???x?a2a????2a1?a/x?e2a；

x?0?1?xe?x1x?lim1?xex?0?x?1xex?ex?e1?e

1?x1?2x1?x11?x2x??1?x??ln?limln??limln1????x?0xx?01?xx?0?1?x??1?x??sinx??x,x?0?★★3．设f?x?1???2,x?0，求limf?x?。

x?0?x?1,x?0??（8）lim12x?lne?1；

知识点：分段函数的极限

求出

思路：可以先将f?x?化成f?x?1?或f?t?1?，以利用已知的函数表达式；或者，由已知f?x?1?，

f?x?的表达式，再求limf?x?。

x?0解：方法一：换元：limf?x?t?1?xx?0limf?t?1?，由已知

t?1limf?t?1??lim(?sint)??sin1，则limf?x???sin1；

t?1t?1x?0t方法二：令x?1?t，则x?t?1，代入已知得

?sin?t?1??sin?t?1??,???t?1?0t??1t?1t?1????f?t???2,t?1?0?f?t???2,t??1?t,?tt?1?0t??1???????sin?x?1?,??x??1x?1?sin?x?1???f?x???2,x??1，则limf?x??lim???sin1；

x?0x?0x?1?x,x??1???★4．已知lim??x?c???3，求c。

x??x?c??x2知识点：同题2 思路：同题2

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